几何群论
的凯莱图。这是一个双曲群，其格罗莫夫边界是康托集。双曲群及其边界是几何群论中的重要主题，凯莱图也是如此。]] 几何群论是数学中的一个领域，是群论的一个分支。几何群论通过探索几何群的代数性质，还有这些群的群作用的空间中拓扑和几何性质之间的联系来研究有限生成群（这里的几何群指可以用几何上的对称性或某些空间的连续变换来生成的群）。 几何群论中的另一个重要思想是将有限生成群本身视为几何对象。这通常是通过研究群的凯莱图来完成的，除了图论的性质以外…
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共 7 篇文章
擬等距同構
擬等距同構是數學上度量空間之間的等價關係，著重在度量空間上的粗結構，而忽略掉小尺寸上的細節。這樣有如從遠處觀看度量空間，看到其大概，而察看不出細處的分別。 定義 設有兩個度量空間(X,d_X), (Y,d_Y)，並有（未必連續的）映射f:X \to Y。若存在常數L \geq 1, C\geq 0，使得對所有x_1,x_2\in X，有 ::d_Y(f(x_1),f(x_2)) \leq L d_X(x_1,x_2) + C 那麼稱映射…
可均群
可均群是數學上一個特別的局部緊拓撲群G，具備了一種為在G上的有界函數取平均的操作，而且G在函數上的群作用，不會改變所取得的平均。 緣起 在\mathbb R^n上的勒貝格測度，存在不可測的有界子集。豪斯多夫研究能否在\mathbb R^n上定義新的測度，使之可以對所有有界子集都是可測的。他要求新的測度保留勒貝格測度的等距變換不變性，就是移動及反射一個有界子集，不會改變其測度。不過，新測度無需有勒貝格測度的σ可加性（可數無限可加性），就是…
漢娜·諾伊曼猜想
群論中，漢娜·諾伊曼猜想是關於一個自由群的兩個有限生成子群的交的秩，1957年由漢娜·諾伊曼提出。2011年伊戈爾·米涅耶夫（Igor Mineyev）和喬爾·弗里德曼（Joel Friedman）各自證明了這個猜想。 猜想敘述 設H, K ≤ F(X)是自由群F(X)的兩個非平凡有限生成子群， L = H ∩ K為其交，這個猜想指 :rank(L) − 1 ≤ (rank(H) − 1)(rank(K) − 1). 其中對群G，ran…
施瓦茨-米爾諾引理
施瓦茨－米爾諾（Schwarz–Milnor或Švarc–Milnor）引理，是數學上的一個結果，給出了群和在度量空間上的群作用的關係。阿爾伯特·施瓦茨首先發現這個結果，十數年後約翰·米爾諾重新發現。這條引理有時稱為幾何群論基本定理。有了這條引理，就可以由度量空間的幾何性質，來研究群的性質。 定義 設X為一個度量空間。如果X每兩點都有測地線相連，就稱X為測地的。 如果X中每一個閉球都是緊緻集，就稱X為常態的。考慮X中從某點x'量度距離的…
字度量
群論中，字度量是在群上的一種度量，就是一個方法去量度群中兩個元素之間的距離。給出群G的生成集S，每個元素都可以用S寫成很多個不同的字。例如設G是所有整數組成的群(\mathbb Z,+)，取S=\{\pm 1\}，3就可以寫成1+1+1，或者-1+1+1-1+1+1+1等字。每個字用了多少個S的元素，這就是字的長度，例如1+1+1的長度是3，-1+1+1-1+1+1+1的長度是7。可以用英文字來比喻：英文字的生成集是英文字母，字的長度就…
雙曲群
數學的幾何群論上，雙曲群是指一種帶有度量的群，符合雙曲幾何的某些性質。雙曲群是米哈伊爾·格羅莫夫於1980年代初所創的概念。 定義 群上的一個度量稱為左不變度量，如果群中任何兩個元素，被另外任一個元素左乘後，其間的距離仍保持不變。如果一個群有一個左不變度量，使得這個群按度量空間而言，是一個格羅莫夫雙曲空間，就稱之為雙曲群。 雙曲群中以字雙曲群最為常見。提到雙曲群時，通常就是指字雙曲群。一個有限生成群稱為字雙曲群（word hyperbo…