可均群

可均群是數學上一個特別的局部緊拓撲群G，具備了一種為在G上的有界函數取平均的操作，而且G在函數上的群作用，不會改變所取得的平均。

緣起
在\mathbb R^n上的勒貝格測度，存在不可測的有界子集。豪斯多夫研究能否在\mathbb R^n上定義新的測度，使之可以對所有有界子集都是可測的。他要求新的測度保留勒貝格測度的等距變換不變性，就是移動及反射一個有界子集，不會改變其測度。不過，新測度無需有勒貝格測度的σ可加性（可數無限可加性），就是可數無限個不相交子集的測度總和，等於其並集的測度。他只要求新測度滿足較弱的有限可加性，就是有限個不相交子集的測度總和，等於其並集的測度。

但是，豪斯多夫、巴拿赫和塔斯基後來的研究，發現了維度不小於3的\mathbb R^n中，任意兩個有內點的有界子集，可以將其一分成有限塊，再移動拼合成另一個，這就是著名的巴拿赫－塔斯基悖論。因此3維以上\mathbb R^n不可能有豪斯多夫所要的測度。而在2維就不存在這種情況。

馮紐曼研究他們的證明，發現問題關鍵不是在\mathbb R^n的結構，而是在\mathbb R^n的旋轉群上。3維以上的\mathbb R^n，其旋轉群有子群是秩2的自由群；而2維時，旋轉群沒有這樣的子群。

於是豪斯多夫原來的測度問題，可以把對象轉到群上面。新的問題是：在一個群G上，是否存在有限可加的概率測度\mu，是G-不變的，即是在G對其中的子集的群作用下不變：對任何E\subset G和任何g \in G，\mu(gE) = \mu(E)。這樣的概率測度稱為不變平均。（函數以這測度積分，像是取加權平均。）由此產生了可均群的概念。因為有限可加測度不像σ可加測度有好的理論，便改為考慮與有限可加測度對應的連續線性泛函。

外文名稱
可均群的德文名稱Mittelbare Gruppe，法文名稱groupe moyennable，其中Mittel、moyenne分別為德文及法文中的平均一字，故此Mittelbare，moyennable兩字意思就是可以有平均。英文名稱amenable group，是英國數學家Mahlon M. Day所譯，字面上與德文及法文不同，但這是藉諧音玩的文字遊戲，因為amenable的英式讀音，與"a mean able"相同（用美式讀音就失去諧音效果），故此說出來其實也是「可以有一個平均」。

定義
設G為局部緊群。G上存在左哈爾測度\mu。考慮在測度空間(G,\mu)上的複值本質有界函數空間L^\infty(G)。

線性泛函\Lambda:L^\infty(G)\to \mathbb C稱為平均，如果\Lambda的範數是1，並且是非負的：若實值函數f\in L^\infty(G)適合f\geq 0，則\Lambda(f) \geq 0。

如果\Lambda是一個平均，則有\Lambda(1_G)=1，其中1_G是G的特徵函數。而且對任何實值函數f\in L^\infty(G)，
::\operatorname{ess\ inf}_{x\in G} f(x) \leq \Lambda (f) \leq \operatorname{ess\ sup}_{x\in G} f
其中ess sup和ess inf分別是函數的本質上確界和本質下確界。

一個平均是左不變的，如果對任何s\in G，f\in L^\infty(G)，在左作用s\cdot f(x)=f(s^{-1}x)下，都有\Lambda(s\cdot f)=\Lambda(f)。

局部緊群G如果有一個左不變平均，就稱為可均群。

可均群有很多等價定義。其中一個是Følner條件：

對任何\epsilon >0，任何緊子集C\subset G，都存在一個緊子集K\subset G，0，使得對所有x\in C都符合不等式
::\mu(xK \triangle K) / \mu(K)
此處\triangle是對稱差。

如果G是可數無限的離散群，Følner條件等價於：
G中存在有限子集S_n，使得對任何g\in G，
::\lim_{n\to \infty}\frac{\left|g S_n \triangle S_n\right|}{\left|S_n\right|} = 0
這樣的(S_n)稱為Følner序列。

性質
可均群的閉子群都是可均的。

若H是可均群G的閉正規子群，那麼G/H是可均群。

若H是局部緊群G的閉正規子群，而且H和G/H都是可均群，那麼G也是可均群。

設G是局部緊群，I是有向集合，(H_i)_{i\in I}是G的閉可均子群組成的網，對任何i\leq j，有H_i \subset H_j。那麼H=\overline{\cup_{i\in I}H_i}是G的可均子群。

例子
有限群是可均群。更一般地，緊群是可均群，其哈爾測度是一個不變平均。

整數群(\mathbb Z,+)和實數群(\mathbb R,+)是可均群，一個在\mathbb Z或\mathbb R中長度趨向無窮的有界區間序列是一個Følner序列。

局部緊的阿貝爾群是可均群。因此，局部緊的可解群是可均群：若G是局部緊的可解群，則有導出列
::G=G^{(0)} \triangleright G^{(1)} \triangleright \cdots \triangleright G^{(k)}=\{1\}
其中G^{(i+1)}=[G^{(i)},G^{(i)}]。每個G^{(i)}/G^{(i+1)}都是阿貝爾群，所以是可均的，而平凡子群{1}也是可均群。從可均群的性質，得出G是可均群。

一個有限生成群G是次指數增長的，如果G中存在一個有限生成集合S，有對稱性S=S^{-1}，使得
::\liminf_{n\to \infty}\frac{\left|S^{n+1}\right|}{\left|S^{n}\right|}=1
次指數增長的有限生成群是可均群。

從定義知對每個i\in\mathbb N，都存在n_i使得
::\frac{\left|S^{n_i+1}\right|}{\left|S^{n_i}\right|}
對每個a\in S，有S^{n_i},a S^{n_i}\subset S^{n_i+1}。對任何g\in G都有\left|g S^{n_i}\right|=\left|S^{n_i}\right|。於是
::\begin{align}
& \left|a S^{n_i}\triangle S^{n_i}\right| \\
\leq & \left|a S^{n_i}\setminus S^{n_i}\right| + \left|S^{n_i}\setminus a S^{n_i}\right| \\
\leq & \left|S^{n_i+1}\setminus S^{n_i}\right| + \left|S^{n_i+1}\setminus a S^{n_i}\right| \\
= & (\left|S^{n_i+1}\right|-\left|S^{n_i}\right|) + (\left|S^{n_i+1}\right|-\left|a S^{n_i}\right|) \\
= & 2(\left|S^{n_i+1}\right|-\left|S^{n_i}\right|)
\end{align}
每個g\in G都可寫成g=a_1 a_2 \cdots a_m。設g_0=e, g_j=g_{j-1}a_j。用集合關係式A\triangle B \subset (A\triangle C) \cup (C\triangle B)，得出
::\begin{align}
& \left|g S^{n_i}\triangle S^{n_i}\right| \\
\leq & \left|\bigcup_{j=1}^m \left(g_{j-1} S^{n_i}\triangle g_j S^{n_i}\right)\right| \\
\leq & \sum_{j=1}^m \left|\left(g_{j-1} S^{n_i}\triangle g_j S^{n_i}\right)\right| \\
= & \sum_{j=1}^m \left|g_{j-1}\left( S^{n_i}\triangle a_j S^{n_i}\right)\right| \\
\leq & 2m(\left|S^{n_i+1}\right|-\left|S^{n_i}\right|)
\end{align}
因此
::\frac{\left|g S^{n_i}\triangle S^{n_i}\right|}{\left|S^{n_i}\right|}
所以(S^{n_i})是一個Følner序列，故G是可均群。

設G_1和G_2是有限生成群，而G_2是可均的。若G_1擬等距同構於G_2，那麼G_1也是可均群。

秩2的自由群F_2不是可均群。
設a,b是F_2的生成元。F_2的元素都可以用a,b寫成字。假設F_2有不變平均M。考慮F_2的一個子集A，A包含所有簡約字以a^n開首的元素。（n是某個不等於0的整數。）那麼A, bA, b^2 A是F_2的不相交子集，所以
::\begin{align}
3M(1_A) &= M(1_A) + M(1_{bA}) + M(1_{b^2 A}) \\
& \leq M(1_{F_2}) =1
\end{align}
另一方面，A\cup aA=F_2，所以
::\begin{align}
2M(1_A) &= M(1_A) + M(1_{aA}) \\
&\geq M(1_{F_2})
\end{align}
這兩條不等式互相矛盾，故F_2上不存在不變平均，即F_2是非可均的。

所以一個群若包含F_2為離散子群，則不是可均群。

如把n維空間\mathbb R^n的旋轉群SO(n)看成離散群，則n不小於3時SO(n)包含F_2為（離散）子群，因此是非可均群，但SO(2)是阿貝爾群，因此是可均群。這是巴拿赫－塔斯基悖論證明中的構造法在n不小於3時可行，在n等於2時不可行的原因。不過若用SO(n)原來的拓撲，則對所有n，SO(n)都是緊群，所以都是可均群。

一個殆連通的局部緊群G是可均群，當且僅當G不包含F_2為離散子群。（設G_e是G的單位連通區。若G/G_e緊緻，則G稱為殆連通群。）

馮紐曼猜想推測非可均群都有子群是秩2的自由群，但是1980年Alexander Ol'shanskii找出反例。他證明了塔斯基魔群是非可均的。G是一個塔斯基魔群，如果有一個固定的素數p，G中所有真子群除了平凡子群外，都是p階循環群。所以塔斯基魔群沒有子群是秩2的自由群。

腳註
參考
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