擬等距同構是數學上度量空間之間的等價關係，著重在度量空間上的粗結構，而忽略掉小尺寸上的細節。這樣有如從遠處觀看度量空間，看到其大概，而察看不出細處的分別。
定義
設有兩個度量空間(X,d_X), (Y,d_Y)，並有（未必連續的）映射f:X \to Y。若存在常數L \geq 1, C\geq 0，使得對所有x_1,x_2\in X，有
::d_Y(f(x_1),f(x_2)) \leq L d_X(x_1,x_2) + C
那麼稱映射 f 是 (L, C)-粗利普希茨的。這條不等式，可視為 f 在長距離時差不多是 L-利普希茨連續的。
若對所有x_1,x_2\in X，有
::\frac 1 L d_X(x_1,x_2) - C \leq d_Y(f(x_1),f(x_2)) \leq L d_X(x_1,x_2) + C
那麼稱映射 f 是一個 (L, C)-擬等距嵌入。雖然 f 不一定符合平常意義上的嵌入，即f未必把兩個不同的點映射到不同的點上，但是對兩個相隔得足夠遠的點，這兩點的像也是不同的。
擬等距映射有兩個等價定義：
*若f:X \to Y是 (L, C)-粗利普希茨映射，且存在 (L, C)-粗利普希茨映射g:Y \to X，使得對所有x\in X，所有y\in Y，都有
::d_X(g(f(x)),x) \leq C
::d_Y(f(g(y)),y) \leq C
:那麼稱映射 f 為 (L, C)-擬等距映射。這兩條不等式，可視為在長距離時，f , g差不多是互為逆映射。
*f 是一個 (L, C)-擬等距嵌入，並且對任一點y\in Y，都存在x\in X使
::d_Y(y,f(x)) \leq C
:那麼稱映射 f 為 (L, C)-擬等距映射。這條不等式，是說 Y中每一點距離 X 的像 f(X) 都不超過 C。對這定義的 f，可以構造前一定義的 g 如下：對每一點y\in Y，取任一個x\in X使得d_Y(y,f(x)) \leq C，並令g(y):=x。
這兩個定義中的 L, C值可能不同。
兩個度量空間(X,d_X), (Y,d_Y)若存在 (L, C)-擬等距映射f，則X, Y稱為 (L, C)-擬等距同構。若常數 L, C 的值不要緊時，可以簡單地稱 X, Y 為擬等距同構。
對度量空間 X, Y, Z，如果f_1:X\to Y, f_2:Y\to Z都是擬等距映射，那麼f_2 \circ f_1:X\to Z也是擬等距映射。
例子
設函數f:\mathbb R \to \mathbb Z，以四捨五入方式，從實數映射到整數上。那麼f是一個擬等距映射。按擬等距映射的定義一，可以取 L=1, C=1，而g:\mathbb Z \to \mathbb R可用g(x)=x。因此\mathbb R和\mathbb Z是擬等距同構。
對任何正整數 n，\mathbb R^n和\mathbb Z^n間也有類似的擬等距映射，所以\mathbb R^n和\mathbb Z^n是擬等距同構。
任何兩個有界的度量空間都是擬等距同構，在兩者間的任何映射都是擬等距映射。
群論上的應用
一個有限生成群 G，其中任何兩個有限生成集合 S, T 賦予 G 兩個字度量d_S, d_T，那麼(G, d_S)和(G, d_T)是擬等距同構。所以縱使 G 可以有多種不同的字度量，但都對應同一個擬等距同構類。因此，可以定義有限生成群之間的擬等距同構關係。而一般的度量空間中的性質，凡是於擬等距映射下不變的，都可以用為有限生成群的性質。幾何群論中的雙曲群正是一例。
如果一個有限生成群作用於一個度量空間，並滿足一些條件，根據施瓦茨－米爾諾引理，這個群和受其作用的度量空間是擬等距同構。故此可以從研究度量空間，得知群的一些性質。
參考
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