擬等距同構
擬等距同構是數學上度量空間之間的等價關係，著重在度量空間上的粗結構，而忽略掉小尺寸上的細節。這樣有如從遠處觀看度量空間，看到其大概，而察看不出細處的分別。 定義 設有兩個度量空間(X,d_X), (Y,d_Y)，並有（未必連續的）映射f:X \to Y。若存在常數L \geq 1, C\geq 0，使得對所有x_1,x_2\in X，有 ::d_Y(f(x_1),f(x_2)) \leq L d_X(x_1,x_2) + C 那麼稱映射…
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嵌入 (数学)
數學上，嵌入是指一個數學結構經映射包含到另一個結構中。某個物件 X 稱為嵌入到另一個物件 Y 中，是指有一個保持結構的單射f:X\rightarrow Y，這個映射 f 就給出了一個嵌入。上述「保持結構」的準確意思，需由所討論的結構而定。一個保持結構的映射，在範疇論中稱為態射。 要表達 f:X\rightarrow Y 是一個嵌入，有時會使用帶鉤箭號 f\colon X\hookrightarrow Y。但這個帶鉤箭號有時只留作表示包含…
格羅莫夫積
格羅莫夫(Gromov)積是度量幾何的一個概念，以米哈伊爾·格羅莫夫命名。在一個測地度量空間中，從同一點出來的兩條測地線，格羅莫夫積大概量度這兩條線彼此相近而行的距離。不過，格羅莫夫積的定義並不需要測地線存在。 格羅莫夫積可用以定義格羅莫夫雙曲空間及其理想邊界。 定義 設(X,d)為度量空間，x,y,z為X中三點，則y,z以x為基點的格羅莫夫積定義為 :(y, z)_{x} := \frac1{2} \big( d(x, y) + d(…
明氏距离
明氏距离又叫做明可夫斯基距离，是欧氏空间中的一种测度，被看做是欧氏距离和曼哈顿距离的一种推广。 定义 两点 : P=(x_1,x_2,\ldots,x_n)\text{ and }Q=(y_1,y_2,\ldots,y_n) \in \mathbb{R}^n 之间的明氏距离公式为： :\left(\sum_{i=1}^n |x_i-y_i|^p\right)^{1/p}. p取1或2时的明氏距离是最为常用的，p=2即为欧氏距离，而p=1…
施瓦茨-米爾諾引理
施瓦茨－米爾諾（Schwarz–Milnor或Švarc–Milnor）引理，是數學上的一個結果，給出了群和在度量空間上的群作用的關係。阿爾伯特·施瓦茨首先發現這個結果，十數年後約翰·米爾諾重新發現。這條引理有時稱為幾何群論基本定理。有了這條引理，就可以由度量空間的幾何性質，來研究群的性質。 定義 設X為一個度量空間。如果X每兩點都有測地線相連，就稱X為測地的。 如果X中每一個閉球都是緊緻集，就稱X為常態的。考慮X中從某點x'量度距離的…
格羅莫夫雙曲空間
數學上，設\delta \geq 0為一常數，則一個度量空間X是格羅莫夫(Gromov)δ-雙曲空間，簡稱δ-雙曲空間，如果X中任意四點p,x,y,z都符合不等式 ::(x, z)_{p} \geq \min \big\{ (x, y)_{p}, (y, z)_{p} \big\} - \delta 其中(x, y)_{p}是x,y對基點p的格羅莫夫積。若δ的實際數值不重要時，也可稱作格羅莫夫雙曲空間或雙曲空間。以上是米哈伊爾·格羅莫夫…