數學上，設\delta \geq 0為一常數，則一個度量空間X是格羅莫夫(Gromov)δ-雙曲空間，簡稱δ-雙曲空間，如果X中任意四點p,x,y,z都符合不等式

::(x, z)_{p} \geq \min \big\{ (x, y)_{p}, (y, z)_{p} \big\} - \delta

其中(x, y)_{p}是x,y對基點p的格羅莫夫積。若δ的實際數值不重要時，也可稱作格羅莫夫雙曲空間或雙曲空間。以上是米哈伊爾·格羅莫夫的定義，因為不須用到測地線，故可以用於一般的度量空間。

一個測地度量空間是格羅莫夫雙曲的，當且僅當存在常數\delta \geq 0，使得每個測地三角形（三邊都是測地線段的三角形）都是δ-瘦，即是三角形每一邊上任何一點，距離另外兩邊其中一邊少於δ。

以上的δ-瘦條件由以利亞·里普斯(Eliyahu Rips)給出，此外又有數種等價條件。格羅莫夫定義中的δ未必等於里普斯條件的δ，但如果一個測地度量空間符合格羅莫夫定義中的δ-雙曲性，則它符合里普斯4δ-瘦條件；反之若這空間符合里普斯δ-瘦條件，則符合格羅莫夫定義的8δ-雙曲性。

例子

• 樹是0-雙曲空間，因為其上任何三角形都是退化的。
• 有限直徑的度量空間都是雙曲空間。
• 設X, Y為測地度量空間，f:X \to Y是一個擬等距映射，如果Y是雙曲空間，那麼X也是雙曲空間。
• 若X是負曲率的緊緻黎曼流形，那麼其萬有覆疊空間\widetilde X是雙曲空間，而X的基本群\pi_1 (X)賦予字度量後可以擬等距映射到\widetilde X（施瓦茨－米爾諾引理），所以也是雙曲空間。\pi_1 (X)因此是雙曲群。

理想邊界
設X是一個格羅莫夫雙曲空間，(x_i)為X中一個序列。如果
:當i,j\to\infty時，(x_i,x_j)_p\to\infty，
稱(x_i)收斂於無窮。其中p是X中某個定點，(x_i,x_j)_p是x_i,x_j對基點p的格羅莫夫積。

對收斂於無窮的序列(x_i)定義一個等價關係如下：(x_i)\sim(y_i)，如果
:當i,j\to\infty時，(x_i,y_j)_p\to\infty。
由這些等價類構成的集合稱為X的理想邊界\partial X。

注意上述條件都不依賴於基點p，因為格羅莫夫積對p是1-利普希茨連續的，即是若將p換作另一點q，則任兩點的格羅莫夫積以q為基點時的值，與以p為基點時的值，相差不超過p和q的距離。

若序列(x_i)在等價類a\in\partial X內，那麼稱x_i \to a。這樣就在X \cup \partial X上定義了一個拓撲，使得X在X \cup \partial X內是稠密的。

等價定義
設格羅莫夫雙曲空間X是測地和常態的，其理想邊界有等價定義如下：

一個映射f:[0,\infty)\to X稱為擬射線，如果f是一個擬等距嵌入。對X中的擬射線定義等價關係：兩條擬射線等價，若二者的豪斯多夫距離是有限的。那麼由擬射線的等價類構成的集合是X的理想邊界。

選取X中任何一點w為基點。對所有從w點出發的測地射線，定義如上一項所述的等價關係。則由這些測地射線的等價類構成的集合是X的理想邊界。

參見
*雙曲群

參考