施瓦茨－米爾諾（Schwarz–Milnor或Švarc–Milnor）引理，是數學上的一個結果，給出了群和在度量空間上的群作用的關係。阿爾伯特·施瓦茨首先發現這個結果，十數年後約翰·米爾諾重新發現。這條引理有時稱為幾何群論基本定理。有了這條引理，就可以由度量空間的幾何性質，來研究群的性質。
定義
設X為一個度量空間。如果X每兩點都有測地線相連，就稱X為測地的。
如果X中每一個閉球都是緊緻集，就稱X為常態的。考慮X中從某點x'量度距離的函數d_{x'}:X\to [0,\infty)
::d_{x'}(x):=d_X(x,x')
那麼閉球\overline{B(x',a)}是緊緻區間[0,a]在d_{x'}下的原像。因此，閉球都是緊緻集這個條件，便等價於所有形如d_{x'}的距離函數都是常態映射。這就是稱度量空間X為常態的原因。
一個群G在X上的群作用稱為真不連續的，如果對每個緊緻集K\subset X，G中只有有限個元素g，使得g\cdot K \cap K \neq \varnothing。這個群作用稱為餘緊的，如果存在一個緊緻集K'\subset X，使得G\cdot K'= X。
引理敘述
設X為一個常態測地度量空間。如果一個群G以等距映射真不連續地、餘緊地作用在X上，那麼G是有限生成群。而且G中用一個有限生成集合S賦予G以字度量後，和X擬等距同構；對於X的任何一點x_0，映射g \mapsto g\cdot x_0都是從G到X的擬等距映射。
證明
G中任何有限生成集合所對應的字度量，都是擬等距同構。故此只需找到一個有限生成集合S，證明在G上取對應S的字度量後，和X是擬等距同構即可。
選定x_0\in X。因為群作用是餘緊的，存在r > 0，使得B(x_0,r)在G的作用下覆蓋X。
取G的一個子集
::S=\{g\in G\setminus\{e\} | d_X(x_0, g\cdot x_0)
G的元素g若在子集S內，則有
::g\cdot \overline{B(x_0,r+1/2)}\cap \overline{B(x_0,r+1/2)} \neq \varnothing
X是常態度量空間，故\overline{B(x_0,r+1/2)}是緊緻集，又因群作用是真不連續的，所以這樣的g僅有有限個。因此S是有限集。
對G中任何非平凡元素g，有一條測地線段連接兩點x_0和g\cdot x_0。設k為整數，符合
::k \leq d_X(x_0,g\cdot x_0)
在這條測地線段上取點x_j，j=1,..., k+1，滿足d_X(x_{j-1},x_j)\leq 1。
對每一點x_j，都存在G中的元素g_j，使得x_j\in g_j \cdot B(x_0,r)。可指定g_0=e, g_{k+1}=g。如果g_{j-1} \neq g_j，則有g_{j-1}^{-1}g_j \in S，因為
::\begin{align}
& d_X(x_0,g_{j-1}^{-1}g_j \cdot x_0) \\
=& d_X(g_{j-1} \cdot x_0,g_j \cdot x_0) \\
\leq & d_X(g_{j-1} \cdot x_0, x_{j-1})+d_X(x_{j-1},x_j)+d_X(x_j, g_j \cdot x_0) \\
由此得出g是由最多k+1個S的元素的積。因此S是G的生成集合，而且對所有g都有
::d_S(e,g) \leq d_X(x_0,g\cdot x_0)+1
取c=\max_{s\in S} d_X(x_0,s\cdot x_0)，用三角不等式得出
::d_X(x_0,g\cdot x_0)\leq c\ d_S(e,g)
對任何g,h\in G，有
::d_X(g\cdot x_0, h\cdot x_0)=d_X(x_0,g^{-1}h\cdot x_0)
::
d_S(g, h)=d_S(e,g^{-1}h)
故此從以上兩條不等式可以得出
::d_S(g,h)-1\leq d_X(g\cdot x_0,h\cdot x_0)\leq c\ d_S(g,h)
而且X中每一點x都距離某個g\cdot x_0不超過r，所以g\mapsto g\cdot x_0是擬等距映射，G和X是擬等距同構。
註釋和參考
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