數學上，嵌入是指一個數學結構經映射包含到另一個結構中。某個物件 X 稱為嵌入到另一個物件 Y 中，是指有一個保持結構的單射f:X\rightarrow Y，這個映射 f 就給出了一個嵌入。上述「保持結構」的準確意思，需由所討論的結構而定。一個保持結構的映射，在範疇論中稱為態射。
要表達 f:X\rightarrow Y 是一個嵌入，有時會使用帶鉤箭號 f\colon X\hookrightarrow Y。但這個帶鉤箭號有時只留作表示包含映射時用。
拓撲與幾何
點集拓撲
拓撲學上，一個嵌入是一個單射，使得拓撲空間到其像上為同胚。換言之，兩個拓撲空間 X, Y之間的一個連續單射 f:X\rightarrow Y 是一個拓撲嵌入，如果 f 給出 X 與 f(X) 間的同胚（空間 f(X) 上的拓撲是由 Y 誘導的子空間拓撲。）凡是連續單射的開映射或閉映射都是拓撲嵌入，不過一個嵌入也可能既非開映射也非閉映射：當其像 f(X) 不是 Y 中的開集或閉集時，便發生這種情況。
微分拓撲
在微分拓撲中，令 M, N為光滑流形，而 f: M\rightarrow N 為光滑映射。則如果f的微分處處皆為單射，則稱 f 為一個浸入。此時的嵌入定義為一個符合拓撲嵌入定義的單射浸入，又稱為光滑嵌入。換言之，嵌入是微分同胚於其像，所以嵌入的像必是子流形。浸入是一個局部嵌入，即在每點x\in M，都有鄰域U\ni x，使得限制到這鄰域上的f|_U\colon U\to N是嵌入。如果M 是緊緻流形，則M的浸入必是嵌入。
光滑嵌入的一個重要情形是在 N 為\mathbb R^n時。這情形引起興趣之處，在於對任何 m 維流形 M，n 需多大才保證有從 M 到\mathbb R^n的光滑嵌入。惠特尼嵌入定理指 n = 2m 便足夠，而且是最好的上界。例如嵌入一個 m 維的實射影平面便需要 n = 2m。
如果將光滑嵌入的定義中，f 為光滑映射的條件放寬為 C^k映射，其中 k 是正整數，而其餘條件不變，則f 稱為 C^k 嵌入。
黎曼幾何
在黎曼幾何中，設(M,g), (N,h)是黎曼流形，一個等距嵌入是一個光滑嵌入 f: M\rightarrow N，令黎曼度量保持不變，即將 h 由 f 拉回等於 g，就是 g=f^*(h)。更明確言之，對 M 中任何一點x，及任何兩個切向量
:v,w\in T_x(M)
都有
:g(v,w)=h(df(v),df(w)).
度量空間
設X, Y為度量空間，映射f\colon X\to Y是一個拓撲嵌入。如果 f 和f^{-1}（定義在 f(X) 上）都是利普希茨連續，則稱 f 為雙利普希茨嵌入(bi-Lipschitz embedding)。換言之，如果存在常數L \ge 1，使得
:\frac 1 L\ d_X(x,y) \le d_Y(f(x),f(y)) \le L\ d_X(x,y)，
則稱 f 為(L-)雙利普希茨嵌入。
一個更廣義的嵌入是擬對稱嵌入(quasisymmetric embedding)。如前設 f 為拓撲嵌入。f 稱為(\eta-)擬對稱嵌入，如果存在同胚 \eta\colon [0,\infty)\to[0,\infty)（即 \eta(0)=0 且 \eta 為嚴格遞增的連續函數），使得 X 中任何三點 x, a, b若滿足
:d_X(x,a) \le t\ d_X(x,b)，
其中 t > 0，則有
:d_Y(f(x),f(a)) \le \eta(t)\ d_Y(f(x),f(b)).
若 f 是一個 L-雙利普希茨嵌入，可令 \eta(t)=L^2 t，則 f 是 \eta-擬對稱嵌入。
雙利普希茨嵌入的一個相關概念是擬等距嵌入。擬等距嵌入雖名為嵌入，卻不一定是嵌入，因其未必是單射。
代數
域論
域論上，從一個域 E 到另一個域 F 中的一個嵌入，是一個環同態 \sigma: E \rightarrow F。因為環同態的核是一個理想，而域的理想只有0及整個域本身，又 \sigma(1)=1，故其核不能為整個域，即知核為0。因此這個環同態必定是單態射，而 E 和在 F 中的 \sigma(E) 同構。所以可稱兩個域之間的任何同態為嵌入。
序理論
關於序理論中的嵌入，可參見序嵌入。
參考
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