阿贝尔群
阿貝爾群（Abelian group），又稱交換群（commutative group）或加群，是运算满足交換律且不依賴於其元素的次序（交換律公理）的群。阿貝爾群推廣了整數集合的加法運算。阿貝爾群以挪威數學家尼尔斯·阿貝爾命名。 阿貝爾群的概念是抽象代數的基本概念之一。其基本研究對象是模和向量空間。阿貝爾群的理論比其他非阿貝爾群簡單。有限阿贝尔群的结构已基本明晰，相关理论较为成熟；而无限阿贝尔群由于元素无限性，其分类与性质仍具复杂性，是…
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戴德金群
戴德金群（Dedekind group）指的是一類所有的子群都是正規子群的群，所有的交換群都是戴德金群，非交換的戴德金群又稱漢彌爾頓群（Hamiltonian group）。 階數最小的漢彌爾頓群是四元群，四元群具有八個元素，一般記做Q_8。戴德金和貝爾（Reinhold Baer）證明說所有的漢彌爾頓群H都是H = Q_8 \times B \times D的直積，其中B是二階初等阿貝爾群，而D則是周期性交換群，且D所有元素的階數皆是…
可除群
在群論中，一個可除群是一個滿足以下條件的阿貝爾群 G：對每個正整數 n 及元素 g \in G，存在 h \in G 使得 nh = g。等價的表法是：\forall n>0, \; nG=G。事實上，可除群恰好是 \Z 上的內射模，所以有時也稱之為內射群。 例子 有理數 \mathbb{Q} 對加法構成可除群。 一般而言，任何 \mathbb{Q}-向量空間對加法都構成可除群。 可除群的商群仍可除，如 \mathbb{Q}/\math…
可解群
在數學的歷史中，群論原本起源於對高于四次的一元多项式方程無一般的公式解之證明的找尋，最終随着伽羅瓦理论的提出而确立。可解群的概念產生於描述其根可以只用根式（平方根、立方根等等及其和與積）表示的多項式所对应的自同構群所擁有的性質。 一個群被稱為可解的，若它擁有一個其商群皆為阿貝爾群的正規列。或者等價地說，若其降正規列 :G\triangleright G^{(1)}\triangleright G^{(2)} \triangleright…
循環群
在群論中，循環群（英文：cyclic group），是指能由單個元素所生成的群。有限循环群同构于整数同余加法群 \mathbb{Z} \big/ n\mathbb{Z}，无限循环群则同构于整数加法群。每個循環群都是阿贝尔群，亦即其運算是可交換的。在群论中，循环群的性质已经被研究的较为透彻，是更为复杂的代数研究中常用到的基础工具。 定義 在乘法下形成循環群。是本原元而 2 不是，因為的奇數次冪不是2的冪。]] 设 (G, \cdot ) …
逆半群
群论中，逆半群 S 为一类半群，其任意元 x\in S 均具唯一逆 y\in S 使得 x=xyx 且 y=yxy, 即任意元均具唯一逆的正规半群。逆半群出现在不少领域，如用于研究部分对称群。 （本文遵循半群理论研究中的惯例，书函数名于参数右侧，函数复合亦从左至右，如 x\ f 而非 f(x).） 起源 逆半群分别由 在苏联于 1952 年、在英国于 1954 年独立引入。两位作者均通过研究集合上的偏双射得到逆半群：集合 X 的偏变换 …
完美核
数学的群论领域中，群的完美核或完美根意指其最大完美子群。由完美子群族生成的子群仍为完美子群，这一事实保证完美核存在。完美核亦是任意群超限导出序列的稳定点。 完美核平凡的群称亚 Abel 群。可解群、自由群均亚 Abel. 泛而论之，均亚 Abel. 群对其完美核的商亚 Abel, 称该群的亚 Abel 化。 参考
单群
数学上的单群（）是指没有非平凡正规子群的群。任意一个群如果不是单群，都可以作进一步分解而得到一个非平凡正规子群及对应的商群。这个过程可以一直做下去。对于有限群，若尔当-赫尔德定理表明，这个分解过程可以得到该群的唯一的合成列（最多相差一个置换）。在2008年完成的有限單群分類工作是数学史上一个重要的里程碑。 定義 設 (G, ) 為群，如果其內的正規子群只有 G 本身與單位元e组成的群（平凡群）\{e\}，則稱之為单群。 例子 有限单群 …
撓群
在數學分支的群論中，撓群（torsion group）或週期群（periodic group）指的是所有元素的階都是有限的群；而此類群的指數，在存在的狀況下，指的是這個群的所有元素的階的最小公倍數。 像例如根據拉格朗日定理，所有的有限群都是週期群，且其指數是這個群的階的倍數。 無限群例子 無限週期群包括了有限域上的多項式環的加法群、以及有理數在整數上的商群，及其直和的被加群，也就是所謂的。另一個例子是所有二面體群的直和所構成的群。而上述…
非阿贝尔群
数学里的非阿贝尔群，也称非交换群，是一種群。它由自身的集合G和二元運算 構成，在符合群的定義之餘，G至少存在两个元素a和b，满足条件ab \neq ba 。 非阿贝尔是为了與阿贝尔群區分開來，其中所有的元素都满足交换律。 非阿贝尔群在数学和物理中广泛存在。最小的非阿贝尔群是6阶二面体群。物理中的常见例子是三维中的旋转群（绕不同的轴的旋转交换顺序会造成不同的结果），這也称作四元群。 连续群和离散群都有可能是非阿贝尔的。 大多数有趣的李群都…
字度量
群論中，字度量是在群上的一種度量，就是一個方法去量度群中兩個元素之間的距離。給出群G的生成集S，每個元素都可以用S寫成很多個不同的字。例如設G是所有整數組成的群(\mathbb Z,+)，取S=\{\pm 1\}，3就可以寫成1+1+1，或者-1+1+1-1+1+1+1等字。每個字用了多少個S的元素，這就是字的長度，例如1+1+1的長度是3，-1+1+1-1+1+1+1的長度是7。可以用英文字來比喻：英文字的生成集是英文字母，字的長度就…
雙曲群
數學的幾何群論上，雙曲群是指一種帶有度量的群，符合雙曲幾何的某些性質。雙曲群是米哈伊爾·格羅莫夫於1980年代初所創的概念。 定義 群上的一個度量稱為左不變度量，如果群中任何兩個元素，被另外任一個元素左乘後，其間的距離仍保持不變。如果一個群有一個左不變度量，使得這個群按度量空間而言，是一個格羅莫夫雙曲空間，就稱之為雙曲群。 雙曲群中以字雙曲群最為常見。提到雙曲群時，通常就是指字雙曲群。一個有限生成群稱為字雙曲群（word hyperbo…
霍普夫群
數學上，霍普夫(Hopfian)群是指一個群G，使得任何滿同態 :G\twoheadrightarrow G 都是自同構。另一個等價定義為G不同構於其任何真商群；換言之，若N是G的正規子群，使得G和G/N同構，則N是平凡子群{e}。 餘霍普夫(co-Hopfian)群是指一個群G，使得任何單同態 :G\rightarrowtail G 都是自同構。另一個等價定義為G不同構於其任何真子群；換言之，若H是G的子群，使得G和H同構，則H=G。…
冪零群
在群論裡，冪零群為一擁有幾乎可換之特殊性質的群，經由交換子（[x,y] = x-1y-1xy）的重複應用。冪零群誕生於伽羅瓦理論和對群的分類之中。其對李群的分類亦具有很重要的功用。 定義 首先先定義群G的降中央列，其為一系列的群G = A0、A1、A2、...、Ai，其中每個Ai+1 = [Ai, G]為所有由Ai中的x及G中的y所算出的所有交換子[x,y]所產生出來的G的子群。因此，A1=[G,G]=G1為G的导群，而A2 = [G1…
有限群
在數學裡，有限群是有著有限多個元素的群。有限群理論中的某些部份在20世紀有著很深的研究，尤其是在局部分析和可解群與冪零群的理論中。期望有個完整的理論是太過火了：其複雜性會隨著群變得越大時而變得壓倒性地巨大。 較少壓倒性地，但仍然很有趣的是在有限域上的一些較小一般線性群。群論學家[http://www.math.uchicago.edu/~alperin/ J. L. Alperin] 曾寫過：「有限群的典型例子為GL(n,q)－在q個元…
多循環群
數學上，多循環群是符合子群的極大條件的可解群。（子群的極大條件，即任何由子群組成的集合中都存在極大元。這等價於任何子群都是有限生成的。）多循環群都是有限展示的。 名稱 多循環群的一個等價定義為：群G有次正規序列 :G=G_0 \triangleright G_1 \triangleright \cdots \triangleright G_n=\{1\} 使得G_i/G_{i+1}都是循環群，i=0,\cdots, n-1。 若定義中n…
完滿群
在數學的群論中，一個群稱為完滿群（又稱完全群，但完全群可以指另一種群），如果這個群等於其換位子群；或者等價地說，如果這個群的阿貝爾商群只有平凡群。 例子 最小的完滿群是交錯群A_5。一般而言，任何非阿貝爾單群都是完滿群。因為一個群的換位子群是正規子群，所以單群的換位子群只能是其自身或平凡子群。而換位子群的對應商群必是阿貝爾群，因此如果一個群是非阿貝爾，其換位子群不能為平凡子群。 不是單群的完滿群的例子有特殊線性群SL(2,5)，即是在有…
完備群
在數學的群論中，完備群（又稱完全群，不過完全群也可以指另一種群）是指如下的一種群G：G是無中心群，並且G的所有自同構都是內自同構，也就是說G有平凡外自同構群和平凡中心。另一等價定義是將元素g\in G映射到自同構x\mapsto gxg^{-1}的群同態G\to \operatorname{Aut}(G)是群同構。因為此群同態的核是G的中心，而其像是G的所有內自同構；所以G有平凡中心，則此群同態是單射，而所有自同構都是內自同構，則此群同…
Powerful p-群
在數學的群論中，特別在p-群和pro-p-群的研究中，*powerful p-群是一個起著重要作用的概念。這個概念是在引入的，該文中並給出了幾個應用，包括Schur乘子的一些結果。powerful p-群用於p-群的自同構研究，受限制的Burnside問題的解答，以coclass猜想作出的有限p-群分類，及給出了很好的方法去理解解析pro-p-群 。 正式定義 有限p-群G稱為powerful，於p為奇數時，若交換子子群[G,G]包含在…