可除群

在群論中，一個可除群是一個滿足以下條件的阿貝爾群 G：對每個正整數 n 及元素 g \in G，存在 h \in G 使得 nh = g。等價的表法是：\forall n>0, \; nG=G。事實上，可除群恰好是 \Z 上的內射模，所以有時也稱之為內射群。

例子

• 有理數 \mathbb{Q} 對加法構成可除群。
• 一般而言，任何 \mathbb{Q}-向量空間對加法都構成可除群。
• 可除群的商群仍可除，如 \mathbb{Q}/\mathbb{Z}。
• p-Prüfer 群 \Z(p^\infty) := \{ e^\frac{2i\pi}{p^m} : m \in \N_{\geq 0} \} 是可除群
• 在模型論中，任何存在性封閉的群皆可解。

可除群結構定理
令 G 為可解群，則其撓子群 \mathrm{Tor}(G) 亦可除。由於可解群是 \Z-內射模，\mathrm{Tor}(G) 是直和項，即：

:G = \mathrm{Tor}(G) \oplus G/\mathrm{Tor}(G).

商群 G/\mathrm{Tor}(G) 亦可解，而且其中沒有撓元，所以它是 \mathbb{Q}-上的向量空間：存在集合 I 使得

:G/\mathrm{Tor}(G) = \oplus_{i \in I} \mathbb Q = \mathbb Q^{(I)}.

撓子群的結構稍複雜，然而可以證明對所有素數 p，存在 I_p 使得

:(\mathrm{Tor}(G))_p = \oplus_{i \in I_p} \mathbb Z[p^\infty] = \mathbb Z[p^\infty]^{(I_p)},

其中 \mathrm{Tor}(G))_p 是 \mathrm{Tor}(G) 是的 p-準素部分。於是：

:G = (\oplus_P \mathbb Z[p^\infty]^{(I_p)}) \oplus \mathbb Q^{(I)}.

推廣
一個環 R 上的左可除模是滿足 \forall r \neq 0 \in R, \; rM=M 的模 M。可除群不外是可除 \Z-模。主理想域上的可除模恰好是內射模。