群论中，逆半群 S 为一类半群，其任意元 x\in S 均具唯一逆 y\in S 使得 x=xyx 且 y=yxy, 即任意元均具唯一逆的正规半群。逆半群出现在不少领域，如用于研究部分对称群。
（本文遵循半群理论研究中的惯例，书函数名于参数右侧，函数复合亦从左至右，如 x\ f 而非 f(x).）
起源
逆半群分别由 在苏联于 1952 年、在英国于 1954 年独立引入。两位作者均通过研究集合上的偏双射得到逆半群：集合 X 的偏变换 \alpha 为从 A 到 B 的函数，其中 A,\,B\subseteq X. 令 \alpha, \beta 为集合 X 的偏变换，其能够（从左到右）在“有意义”组成它们的最大定义域上组成：
: \operatorname{dom}\alpha\beta=\left[\operatorname{im}\alpha\cap\operatorname{dom}\beta\right]\alpha^{-1},
其中 \alpha^{-1} 表示 \alpha 的原像。偏变换在的背景下已有研究。首先是 Вагнер 注意到偏变换的复合是二元关系复合的特例，还认识到两个偏变换的复合，其定义域可能为空，因而引入空变换以考虑之。伴随空变换引入，集合偏变换的复合是处处定义的二元结合关系。依此复合，集合 X 上全部偏一一变换的总体 \mathcal I_X 即构成一逆半群，称 X 上的对称逆半群或幺半群，其中逆定义作从像到定义域的函数逆。这就是“原型”逆半群了，同样地可以说对称群是“原型”群。举例，所有群均可嵌入对称群，所有逆半群均可嵌入对称逆半群（见下文的逆半群的同态与表示章节）。
基本叙述
逆半群 S 中的元 x, 其逆常写作 x^{-1}. 逆半群中的逆，不少性质同乎群中的逆，例如 (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}. 在逆幺半群中，xx^{-1} 和 x^{-1}x 均幂等。满足 \forall x\in S,\,xx^{-1}=e=x^{-1}x 的逆幺半群 S （一个“幂幺逆幺半群”）当然是群。
逆半群 S 有如下等价特征：
- 任意元均具唯一逆当 S 具幺。
- 任意元均具至少一个逆（S 为正规半群）且幂等元交换（即 S 的幂等元构成半格）。
- 任意 \mathcal L-类与 \mathcal R-类均具恰好一个幂等元，其中 \mathcal L 和 \mathcal R 是 其二。
s 的 \mathcal L-类中的幂等元为 s^{-1}s, 而 s 的 \mathcal R-类中的幂等元为 ss^{-1}.
因而在逆半群中的 Green 关系又一个简单特征：
: a \leq b \Longleftrightarrow a=eb,
对 S 中的幂等元 e\in S. 此外有等价表述
: a \leq b \Longleftrightarrow a=bf,
对一些（一般不同的）幂等元 f\in S. 实际上 e 可视作 aa^{-1}, f 可视作 a^{-1}a.
自然偏序同时兼容乘法与逆运算，即：
: a\le b,\,c\le d \implies ac\le bd,
且
: a\le b\implies a^{-1}\le b^{-1}.
群中的逆序则简单地退化为等价关系，因为幺元正是其唯一幂等元。在交换逆半群中，逆序退化为限制映射，即 \alpha\le\beta 当且仅当 \alpha 的定义域含于 \beta 的定义域，且 \forall x\in D_\alpha,\, x\alpha=x\beta.
对 E(S) 来说，自然偏序变成了：
: e\le f\Longleftrightarrow e=ef,
故而由于幂等元构成乘积运算下的半格，E(S) 的乘积给出了关系 \le 的最小上界。
若 E(S) 有限且构成链（即 E(S) 按 \le 构成全序），则 S 为群的并。若 E(S) 为无穷链，亦可能据 S 和 E(S) 的假设获得类似结果。
逆半群的同态与表示
逆半群的同态（或态射）以与对其他半群那样完全相同的方式定义：对逆半群 S,\,T, 函数 \vartheta\colon\, S\to T 是同态，当且仅当 \forall s,\,t\in S,\,(s\vartheta)(t\vartheta)=(st)\vartheta. 可用控制条件 (s\vartheta)^{-1}=s^{-1}\vartheta 加强上述定义以阐明逆半群的态射，但并不必要，因为这一性质可由上面的定义导出，有定理：
因此，任意逆半群可嵌入交换逆半群，而偏双射的像对取逆封闭。反过来说，任意交换逆半群的子半群是逆半群，若对逆运算封闭。故而半群 S 同构于交换逆半群对逆运算封闭的子半群当且仅当 S 是逆半群。
逆半群的同余
逆半群的同余实际与其他半群的如出一辙：同余 \varrho 为兼容半群乘法的等价关系：
: a\ \varrho\ b,\, c\ \varrho\ d \implies ac\ \varrho\ bd.
特别值得关注的是定义在逆半群 S 上的关系 \varsigma:
: a\ \varsigma\ b\implies\exists c\in S, c\le a,\,b.
可以证明 \varsigma 为同余，而且实际上是群同余，这意味着因子半群 S/\varsigma 是群。半群 S 上的所有群同余构成的集合中的极小元（就由集合包含给出的偏序而言）不一定是最小元。特别当 S 为逆半群时，\varsigma 是使得 S/\varsigma 是群的 S 上的最小同余，换言之，给定群同余 \tau\ne\varsigma, \varsigma 必包含于 \tau. 称同余 \varsigma 为 S 上的极小群同余。极小群同余可用于给出 E-纯逆半群的一个表征（见下文）。
逆半群 S 的同余 \varrho 称幂等纯若
: a\in S,\,e\in E(S),\,a\ \varrho\ e\implies a\in E(S).
E-纯逆半群
一类常年广受关注的逆半群是 E-纯逆半群：称逆半群 S（有幂等元半格 E） E-纯当且仅当 \forall e\in E,\,\forall s\in S,
: es\in E\implies s\in E.
条件等价于
: se\in E\implies s\in E.
- 左/右/双边 适半群。
- 左/右/双边 充半群。
- 左/右/双边 半适半群。
- 弱 左/右/双边 充半群。
逆范畴
逆运算这一记号亦可拓展到范畴上。逆范畴即其任意态射 f\in\operatorname{Hom}(X,\,Y), 均对应唯一逆 g\in\operatorname{Hom}(Y,\,X), 使得 fgf=f,\,gfg=g=g. 易知逆范畴自对偶。典例即集合范畴及其上的偏双射。
逆范畴在理论计算机科学里已有部分应用。
注释
参考文献
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