杖头线

杖头线（Kampyle of Eudoxus）是笛卡儿坐标系方程如下的曲線

:x^4 = a^2(x^2+y^2),

但不包括x = y = 0的解。

另一種表示法
在極座標下，杖头线的方程如下

:r = a\sec^2\theta.

其參數式為
:x=a\sec(t), \quad y=a\tan(t)\sec(t).

歷史
希臘天文學家及數學家歐多克索斯（c. 408 BC – c.347 BC）有研究此一四次曲線，和求解經典的倍立方問題有關。

性質
杖头线對X軸及Y軸對稱，和X軸交點為(±a,0)，其拐点在

:\left(\pm a\frac{\sqrt{6}}{2},\pm a\frac{\sqrt{3}}{2}\right)

（四個拐点，每個象限各一個）。曲線上半部在x \to \infty時漸近x^2/a-a/2 as x \to \infty，可以寫成

:y = \frac{x^2}{a}\sqrt{1-\frac{a^2}{x^2}} = \frac{x^2}{a} - \frac{a}{2} \sum_{n=0}^\infty C_n\left(\frac{a}{2x}\right)^{2n},

其中

:C_n = \frac1{n+1} \binom{2n}{n}

是第n個卡塔兰数。

參考資料
*

外部連結
*
*