漸伸線

漸伸線（involute）(或稱漸開線(evolvent))和漸屈線（evolute）是曲線的微分幾何上互為表裡的概念。若曲線A是曲線B的漸伸線，曲線B是曲線A的漸屈線。

在曲線上選一定點S。有一動點P由S出發沿曲線移動，選在P的切線上的Q，使得曲線長SP 和直線段長PQ 相同。漸伸線就是Q的軌跡。

若曲線B有參數方程r:\mathbb R\to\mathbb R^n，其中|r^\prime(s)|=1，曲線A的方程為t\mapsto r(t)-tr^\prime(t)。

曲線的漸屈線是該曲線每點的曲率中心的集。

若該曲線有參數方程r:\mathbb R\to\mathbb R^n（|r^\prime(s)|=1），則其漸屈線為

: s \to r(s)+{r(s)\over|r(s)|^2}。

每條曲線可有無窮多條漸伸線，但只有一條漸屈線。

參數化曲線
漸開線方程曲線的參數化定義的函數( x(t) , y(t) ) 是:

X[x,y]=x-\frac{x'\int_a^t \sqrt { x'^2 + y'^2 }\, dt}{\sqrt { x'^2 + y'^2 }}

Y[x,y]=y-\frac{y'\int_a^t \sqrt { x'^2 + y'^2 }\, dt}{\sqrt { x'^2 + y'^2 }}

範例
圓的漸伸線
圓的漸伸線會形成一個類似阿基米德螺線的圖形。

*在笛卡兒坐標系中，一個圓的漸開線的參數方程可以寫成：

:\, x = a \left( \cos\ t + t\sin\ t \right)

:\, y = a \left( \sin\ t - t\cos\ t \right)

其中\, a是圓的半徑，\, t為參數

*在極坐標系中， \, r,\theta 一個圓的漸開線的參數方程可以寫成：

:\, r=a\sec\alpha

:\, \theta = \tan\alpha - \alpha

其中 \, a 是圓的半徑 \, \alpha為參數

通常，一個圓的漸開線常被寫成寫成：

:\, r = a \sqrt{1+t^2}
:\, \theta = \arctan \frac{\cos t + t \sin t}{\sin t - t \cos t}.

歐拉建議使用圓的漸開線作為齒輪的形狀, 這個設計普遍存在於目前使用，稱為漸開線齒輪。

懸鏈線的漸開線
一個懸鏈線的漸開線會通過此懸鏈線的頂點，形成曳物線。在笛卡兒坐標系中，一個懸鏈線的漸開線的參數方程可以寫成：

x=t-\mathrm{tanh}(t)\,

y=\mathrm{sech}(t)\,

其中t 是參數，而sech是雙曲正割函數(1/cosh(x))

衍生

用r(s)=(\sinh^{-1}(s),\cosh(\sinh^{-1}(s)))\,

我們得到 r^\prime(s)=(1,s)/\sqrt{1+s^2}\,

且r(t)-tr^\prime(t)=(\sinh^{-1}(t)-t/\sqrt{1+t^2},1/\sqrt{1+t^2})。

替代成t=\sqrt{1-y^2}/y

可得到 ({\rm sech}^{-1}(y)-\sqrt{1-y^2},y)。

擺線的漸開線
一個擺線的漸開線是另一個與它全等的擺線在笛卡兒坐標系中，一個擺線的漸開線的參數方程可以寫成：

:x=r(t-\sin(t))\,

:y=r(1-\cos(t))\,

其中t是角度，r是半徑

參見
*漸屈線
*渦旋壓縮機
*漸開線齒輪

外部連結