环索线（strophoid）是几何学中的一種曲線，由給定曲線C、點A（固定點）及點O（極點），依以下方式產生：令L是通過O，和曲線C的交點為K的變動直線。令P1和P2是直線L上的兩點，這兩點到K的距離和A到K的距離相同（因此A、P1、P2在圓心為K為圓上）。P1、P2的轨迹即為曲線C的环索线，相對於極點O及固定點A。
其中AP1和AP2會呈直角。
若C是直線，A在C上，而O不在C上，此曲線稱為斜環索線（oblique strophoid）。若OA和C垂直，此曲線則稱為正環索線（right strophoid），正環索線也稱為logocyclic curve或葉狀線（foliate）。
方程式
極坐標
令曲線C的極坐標方程為r = f(\theta)，其中原點為O，令A的直角坐標為(a, b)，若K = (r \cos\theta,\ r \sin\theta)是曲線上的一點，K到A的距離為
:d = \sqrt{(r \cos\theta - a)^2 + (r \sin\theta - b)^2} = \sqrt{(f(\theta) \cos\theta - a)^2 + (f(\theta) \sin\theta - b)^2}.
在OK線上的點，其極座標角度為\theta，線上和點K距離為d的點，和原點的距離為f(\theta) \pm d。因此，環索線的方程如下
:r = f(\theta) \pm \sqrt{(f(\theta) \cos\theta - a)^2 + (f(\theta) \sin\theta - b)^2}
另一種極座標公式
若C是極點為O和A的時，可以用以下的極座標公式。
令O為原點，A為點(a, 0)，令K為曲線上一點，線OK和X軸的夾角為\theta，而 \vartheta是線AK和和X軸的夾角。假設\vartheta可以表示為\theta的函數，假設\vartheta = l(\theta)。令\psi是K的角度，則\psi = \vartheta - \theta。可以用正弦定律，將r用l來表示。因為
:{r \over \sin \vartheta} = {a \over \sin \psi},\ r = a \frac {\sin \vartheta}{\sin \psi} = a \frac {\sin l(\theta)}{\sin (l(\theta) - \theta)}。
令P1和P2是OK線上和K點的距離等於AK的點，調整編號使\psi = \angle P_1KA，且\pi-\psi = \angle AKP_2。\triangle P_1KA是頂角為\psi的等腰三角形，剩下的兩角\angle AP_1K和\angle KAP_1角度為(\pi-\psi)/2。AP1線和x軸角度為
:l_1(\theta) = \vartheta + \angle KAP_1 = \vartheta + (\pi-\psi)/2 = \vartheta + (\pi - \vartheta + \theta)/2 = (\vartheta+\theta+\pi)/2。
同理可得AP2和x軸的角度為
:l_2(\theta) = (\vartheta+\theta)/2.
環索線的極座標式可以表示以下有l1及l2的式子：
:r_1=a \frac {\sin l_1(\theta)}{\sin (l_1(\theta) - \theta)} = a \frac {\sin ((l(\theta)+\theta+\pi)/2)}{\sin ((l(\theta)+\theta+\pi)/2 - \theta)} = a \frac{\cos ((l(\theta)+\theta)/2)}{\cos ((l(\theta)-\theta)/2)}
:r_2=a \frac {\sin l_2(\theta)}{\sin (l_2(\theta) - \theta)} = a \frac {\sin ((l(\theta)+\theta)/2)}{\sin ((l(\theta)+\theta)/2 - \theta)} = a \frac{\sin((l(\theta)+\theta)/2)}{\sin((l(\theta)-\theta)/2)}
若l是q \theta + \theta_0，曲線C是極點為O和A的麥克勞林分角線，此時，l1和l2會有相同的型式，因此環索線可以是另一個麥克勞林分角線，或是一對這類的曲線。若原點往右移a的位置，也會有較簡單的極座標方程。
特例
斜環索線
令C是通過A點的直線。依照上式的表示法，l(\theta) = \alpha，其中\alpha為常數，則l_1(\theta) = (\theta + \alpha + \pi)/2且l_2(\theta) = (\theta + \alpha)/2。相對原點O點環索線的極座標（斜環索線）方程為
:r = a \frac{\cos ((\alpha+\theta)/2)}{\cos ((\alpha-\theta)/2)}
以及
:r = a \frac{\sin ((\alpha+\theta)/2)}{\sin ((\alpha-\theta)/2)}.
可以確定上式二式描述的是同一條直線。
將原點移到A點，用−a代替a，可得
:r=a\frac{\sin(2\theta-\alpha)}{\sin(\theta-\alpha)},
旋轉角度\alpha後可得
:r=a\frac{\sin(2\theta+\alpha)}{\sin(\theta)}.
在直角坐標系，調整常數的參數，可得
:y(x^2+y^2)=b(x^2-y^2)+2cxy.
是三次曲線，在極座標下是有理函數，其叉點在(0, 0)，漸近線為直線y=b。
正環索線
將\alpha = \pi/2代入下式
:r=a\frac{\sin(2\theta-\alpha)}{\sin(\theta-\alpha)}
可得
:r=a\frac{\cos 2\theta}{\cos \theta} = a(2\cos\theta-\sec\theta).
此即為正環索線，對應直線C為y軸，A點為原點，O點為點(a,0)的情形。
笛卡尔坐标系方程為
:y^2 = x^2(a-x)/(a+x).
此曲線為笛卡儿叶形线，直線x = −a是二個分支的渐近线。此曲線還有二條漸近線，分別是複數平面上的
:x\pm iy = -a。
圓
令圓C是通過O和A的圓，其中O為原點，A的座標為(a, 0)。依以上的表示法，l(\theta) = \alpha+\theta，其中\alpha是常數。則l_1(\theta) = \theta + (\alpha + \pi)/2以及l_2(\theta) = \theta + \alpha/2，所得相對於圓O環索線（oblique strophoid）的極座標方程為
:r = a \frac{\cos (\theta+\alpha/2)}{\cos (\alpha/2)}
及
:r = a \frac{\sin (\theta+\alpha/2)}{\sin (\alpha/2)}.
這是二個通過O和A，在C點形成角度\pi/4的圓。
相關條目
*蚌线
*蔓叶线
參考資料
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外部連結
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