腎形線

腎形線（nephroid）是外形類似腎臟的平面曲线，其英文nephroid源自希腊语的 ὁ νεφρός （ho nephros），和腎臟科的英文nephrology有相同的字根。腎形線主要是指在1878年提出的曲線，不過有時也會用來描述其他曲線。

腎形線是六度的代數曲線，可以用一個半徑為 a的圓在半徑為2a的固定圓上滾動而得，因此腎形線也屬於外摆线，有二個尖點。腎形線是平面的簡單閉曲線，因此也是若爾當曲線。

方程式
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考慮一小圓在一固定圓的外面滾動，若小圓的半徑為a，固定圓的圓心在(0,0)，半徑為2a，小圓的滾動角為2\varphi，啟始點為(2a,0)（如圖所示），則可以得到腎形線的

• 參數式

:x(\varphi) = 3a\cos\varphi- a\cos3\varphi=6a\cos\varphi-4a \cos^3\varphi \ ,
:y(\varphi) = 3a \sin\varphi - a\sin3\varphi =4a\sin^3\varphi\ , \qquad 0\le \varphi
將 x(\varphi) 和 y(\varphi) 代入以下方程
*(x^2+y^2-4a^2)^3=108a^4y^2
可知上述方程即為腎形線的。

若尖點是在Y軸上，則參數式為
:x=3a\cos \varphi+a\cos3\varphi,\quad y=3a\sin \varphi+a\sin3\varphi).
隱函數表示式為
:(x^2+y^2-4a^2)^3=108a^4x^2.
性質
上述的腎形線，有以下的性質
*弧长為 L= 24 a,
*面积為 A= 12\pi a^2\
*曲率半徑為 \rho=|3a\sin \varphi|.

參考資料
Arganbright, D., Practical Handbook of Spreadsheet Curves and Geometric Constructions*, CRC Press, 1939, , p. 54.

• Borceux, F., A Differential Approach to Geometry: Geometric Trilogy III, Springer, 2014, , p. 148.

Lockwood, E. H., A Book of Curves,* Cambridge University Press, 1961, , p. 7.

外部連結

• [http://mathworld.wolfram.com/Nephroid.html Mathworld: nephroid]
• [http://xahlee.info/SpecialPlaneCurves_dir/Nephroid_dir/nephroid.html Xahlee: nephroid]