在數論中，平方和定理（sum of two squares theorem）將任意整數 的質因數分解與其是否能寫成兩個平方數之和聯繫起來，即存在整數 , 使得 。
一個大於一的整數可以寫成兩平方數之和，若且唯若它的質因數分解中不包含任何形如 的因子，其中質數 p \equiv 3 \pmod 4 且 為奇數。
在將一個數寫成平方和時，允許其中一個平方為零，或兩者相等，因此所有平方數以及平方數的兩倍都包含在可表示的數中。此定理推廣了費馬平方和定理，原本只描述質數何時能寫成平方和，而平方和定理也涵蓋了合數的情況。
一個數可能有多種平方和表示，例如，。
範例
數字 2450 的質因數分解為 2450 = 257。其中的質數 2、5、7，只有 7 同餘於 3 (mod 4)。它在分解中的指數為 2，是偶數，因此平方和定理指出它可以表示為平方和。事實上 。
數字 3430 的質因數分解為 257。這次 7 的指數是 3，是奇數。因此 3430 不能表示為平方和。
可表示的數
所有能表示為平方和的數由小到大形成一個整數數列
:0, 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 18, 20, 25, 26, 29, 32, ...
該數列也是所有高斯整數的範數集合
兩個平方和的乘積仍然是可表示為平方和，其表示因子可以透過婆羅摩笈多-斐波那契恆等式
:
\left(a^2 + b^2\right)\left(c^2 + d^2\right) = \left(ac-bd\right)^2 + \left(ad+bc\right)^2
導出。
雅可比平方和定理
{{Math theorem
| math_statement = 設 d(n) 為 n 的除數函數，並令 d_a(n) 為那些滿足 d \equiv a \pmod 4 的因數個數。令 n = 2^f p_1 ^{r_1} p_2 ^ {r_2} \cdots q_1^{s_1} q_2^{s_2} \cdots ，其中 p_i \equiv 1 \pmod 4, \ q_i \equiv 3 \pmod 4。
設 r_2(n) 為 n 可表示為平方和的方式數。
則若任何指數 s_j 為奇數，則 r_2(n) = 0。若所有 s_j 為偶數，則
r_2(n) = 4 d (p_1^{r_1} p_2^{r_2} \cdots ) = 4(d_1(n) - d_3(n))
| name = 平方和定理
}} 高斯透過二次型證明此定理，雅可比則使用橢圓函數證明，此外，有一個初等證明是基於高斯整數的唯一分解整環性質
參考資料
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