丟番圖方程
丟番圖方程（），又稱不定方程，是未知数只能使用整數的整數係數多項式等式；即形式如a_1 x_1^{b_1}+a_2 x_2^{b_2}+......+a_n x_n^{b_n}=c 的等式，並且其中所有的a_j、b_j和c均是整數。若其中能找到一組整數解m_1,m_2...m_n者則稱之有整數解。 丟番圖問題一般可以有數條等式，其數目比未知數的數目少；丟番圖問題要求找出對所有等式都成立的整數組合。换言之，丟番圖問題定義了代數曲綫或者代數…
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布羅卡問題
布羅卡問題（）是數學中的一個問題，旨在尋找使 n!+1 成為完全平方數的整數 n ，其中 n! 表示階乘。目前僅知三組解：4、5、7，且尚不清楚是否存在更多解。 更正式地說，它尋找整數對 n 和 m，使得n!+1 = m^2 該問題由亨利·布羅卡於1876年與1885年的兩篇論文中提出，並於1913年由斯里尼瓦瑟·拉馬努金獨立提出。 並且數學家田士弘也提出另外3個變體布羅卡問題 1.n!+1+(n+1)!=m^2只有3解［1,2,5］ …
欧拉猜想
歐拉猜想是由歐拉提出，從費馬最後定理引出的猜想，已經確定不成立。 该猜想声称，對每個大於2的整數n，任何n-1個正整數的n次冪的和都不等于任何正整數的n次冪，即以下不定方程無正整數解。 :\sum_{i=1}^{n-1} a_i^n = b^n,\,\forall n>2 歷史 该猜想在1966年被L. J. Lander和T. R. Parkin推翻。他們利用當時最快的電腦CDC 6600找出一個n=5的反例： :27^5 + 84^…
馬爾可夫方程
不定方程x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 3 x_1 x_2 x_3稱為馬爾可夫方程（或Markoff equation）。 求解方法如下： 先憑觀察找出(x_1, x_2, x_3) = (1,1,1)這組解。 方程可視為一個x_3為未知數的一元二次方程。根據韋達定理，可知(x_1, x_2, 3 x_1 x_2 - x_3) （留意3 x_1 x_2 - x_3 = \frac{x_1^2+x_2^2}{x_3}）也是…
勾股数
勾股数，又名商高數或-{zh-cn:毕氏数; zh-sg:勾股数; zh-tw:勾股數;}-（Pythagorean triple），是由三个正整数组成的数组；能符合勾股定理（毕式定理）「a^2+b^2=c^2」之中，(a,b,c)的正整数解。而且，基于勾股定理的逆定理，任何边长是勾股数组的三角形都是直角三角形。 如果(a,b,c)是勾股数，它们的正整数倍数，也是勾股数，即(na,nb,nc)也是勾股数。若果(a,b,c)三者互质（它们…
卡塔蘭猜想
卡塔蘭猜想也稱為米哈伊列斯庫定理，是比利時數學家歐仁·查理·卡塔蘭在1844年提出的數論猜想，已在2002年4月由帕德博恩大學的羅馬尼亞數學家證明了這猜想，因此也稱為米哈伊列斯庫定理，證明大幅使用了分圓域和。 此定理斷言除了8=2^3，9=3^2，沒有兩個連續整數都是正整數的幂（即次方數）；以數學方式表述為：不定方程x^a-y^b=1的大於1的正整數x,y,a,b只有唯一解x=3,y=2,a=2,b=3。 歷史 在卡塔蘭之前已有人考慮過…
貝祖等式
在数论中，裴蜀等式（）或貝祖定理（）是一个关于最大公约数（或最大公约式）的定理。裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀，说明了对任何整數 a、b 和 m，关于未知数 x 和 y 的線性丟番圖方程（称为裴蜀等式）： :ax+by=m 有整数解时当且仅当 m 是 a 及 b 的最大公约数 d 的倍数。裴蜀等式有解时必然有无穷多个整数解，每组解 x、y 都稱為裴蜀數，可用擴展歐幾里得演算法求得。 例如，12 和 42 的最大公因數是 6，则方程…
无穷递降法
无穷递降法，又名無窮遞減法（），是数学中证明方程无解的一种方法。 步骤 假设方程有解，并设X为最小的解。 从X推出一个更小的解Y。 从而与X的最小性相矛盾。所以，方程无解。 一些實用的例子 a2+b2=3(s2+t2)無非平方解 证明下列方程无正整数解: :a^2+b^2=3 \cdot (s^2+t^2),\, 证明: 假设该方程有正整数解。 设a_1, b_1, s_1, t_1为最小的解。即 : a_1^2+b_1^2 = 3 \…
費馬-卡塔蘭猜想
在數論上，費馬－卡塔蘭猜想是費馬大定理與卡塔蘭猜想的推廣，而這猜想認為，以下的等式 僅有有限多個a,b,c彼此互質，且m,n,k滿足下列條件的解： {{NumBlk|::|\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{k}|}} 這個給出m,n,k條件的不等式是猜想的必要成分，而這是因為沒有這不等式的話，這結果就會有無限多的解，像例如在k=1的狀況下，a^m + b^n = c顯然有無限多的解；而在m=n=k=2的狀…
哈瑟原則
在數學裡，赫爾姆特·哈瑟的局部-全域原則，或稱為哈瑟原則，是一個表示「一個方程可以在有理數上被解若且唯若它可以在實數上『及』在每個質數p之p進數上被解」的原則。 表示0的型 二次型 哈瑟-閔可夫斯基定理描述著局部-全域原則會由在有理數上之二次型來表示0的問題中成立(由閔可夫斯基證出)；且更一般性地，會在任何一個數域上成立(由哈瑟證出)，其中使用了所有合適的局部域的必要條件。循環擴張上的哈瑟定理描述著局部-全域原則可以應用在數域循環擴張之…
歐拉長方體
歐拉長方體指邊長和-{面}-對角線都是整數的長方體。 這即是求解丟番圖方程： : a^2 + b^2 = d^2 : b^2 + c^2 = e^2 : c^2 + a^2 = f^2 最小的歐拉長方體的邊長為240, 117, 44，面對角線為267, 125, 244，是Paul Halcke在1719年發現的。 例子 :邊長 63000 以內的 (a,b,c) 滿足 aa^2 + b^2 + c^2 = g^2。截至2015年5月…
丟番圖集
若有一些整係數多項式f(n_1, ..., n_j, x_1, ..., x_k)，存在整數x_1,...,x_k使得f(n_1, ..., n_j, x_1, ..., x_k) = 0（一個丟番圖方程）若且唯若整數多元組(n_1,...,n_j)屬於集S，則稱S為丟番圖集。這可以寫成 : S = \{\, (n_1,\dots,n_j) : \exists x_1\,\dots\,\exists x_k\, f(n_1,\dots,…