馬爾可夫方程

不定方程x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 3 x_1 x_2 x_3稱為馬爾可夫方程（或Markoff equation）。

求解方法如下：

• 先憑觀察找出(x_1, x_2, x_3) = (1,1,1)這組解。
• 方程可視為一個x_3為未知數的一元二次方程。根據韋達定理，可知(x_1, x_2, 3 x_1 x_2 - x_3)　（留意3 x_1 x_2 - x_3 = \frac{x_1^2+x_2^2}{x_3}）也是一個解。

這個方程有無限個解。

事實上，用這個方法由(1,1,1)開始，可以找出這方程的所有正整數數組解。

在此不定方程的解出現的正整數稱為馬爾可夫數（），它們由小到大是：
: 1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433, 610, 985, 1325, ... （A002559）
它們組成的解是：
: (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1, 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (89, 233, 610) ...

馬爾可夫數的特性
馬爾可夫數可以排成一棵二元樹（如圖）。

在二元樹上，和 1 的範圍相鄰的數（即二元樹的上方，2, 5, 13, 34, 89, ...），都是相隔的斐波那契數。

和 2 的範圍鄰接的數（即二元樹的下方，1, 5, 29, 169, ...）也有相似的特質：它們都是相隔的佩爾數。

猜想
每個數只在樹上出現一次（即沒有正整數z使得(a, b, z), (c, d, z)都是方程的解，其中a,b,c,d是兩兩相異的正整數，且a>b>z, c>d>z）。
赫爾維茨方程
馬爾可夫-赫維茲方程（），是指形式如x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2 = a x_1 x_2 ... x_n的不定方程，其中a,n是正整數。

阿道夫·赫維茲證明了：方程有(0, ..., 0)之外的解的必要條件之一是a \le n。

參考