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勾股数

Wikipedia · 2025-11-06 维基百科 👁 1 阅读

勾股数，又名商高數或-{zh-cn:毕氏数; zh-sg:勾股数; zh-tw:勾股數;}-（Pythagorean triple），是由三个正整数组成的数组；能符合勾股定理（毕式定理）「a^2+b^2=c^2」之中，(a,b,c)的正整数解。而且，基于勾股定理的逆定理，任何边长是勾股数组的三角形都是直角三角形。

如果(a,b,c)是勾股数，它们的正整数倍数，也是勾股数，即(na,nb,nc)也是勾股数。若果(a,b,c)三者互质（它们的最大公因数是 1），它们就称为素勾股数或本原勾股數組。

找出素勾股数
以下的方法可用来找出素勾股数。设m>n、m和n均是正整数，

:a=m^2-n^2
:b=2mn
:c=m^2+n^2

若m和n是互质，而且m和n為一奇一偶，计算出来的(a,b,c)就是素勾股数。（若m和n都是奇数，(a,b,c)就会全是偶数，不符合互质。）

所有素勾股数可用上述列式当中找出，这亦可推论到数学上存在无穷多的素勾股数。

例子
以下是小于 100 的素勾股数：

有些勾股数组可以有同一个最小的勾股数。第一个例子是 20 ，它在以下两组勾股数之中出现：(20,21,29)与(20,99,101)。

其中最先例子是5，它在以下兩組勾股數之中出現(3,4,5)及(5,12,13)。

在 15,386 组素勾股数的 1229779565176982820 ，它的最小与最大的勾股数组是：

:1229779565176982820
:1230126649417435981
:1739416382736996181

与

:1229779565176982820
:378089444731722233953867379643788099
:378089444731722233953867379643788101

试考虑它的质因数分解

:1229779565176982820 = 2^2\times 3\times 5\times 7\times 11\times 13\times 17\times 19\times 23\times 29\times 31\times 37\times 41\times 43\times 47

它质因数的个数涉及不少素勾股数。当然，数学上存在比它大的素勾股数。

性質
對於本原勾股數組(a,b,c)，a^2+b^2=c^2，我們有
*a,b,c兩兩互質
*a,b其中一個是3的倍數
*a,b其中一個是4的倍數
*a,b,c其中一個是5的倍數
對於第二、三、四條性質的證明：

利用完全平方數\equiv 0,1 \pmod{3} 若a,b都不是3的倍數，則a^2+b^2 \equiv 2 \pmod{3}，導致c^2 \equiv 2 \pmod{3} 矛盾，所以a,b一定有且只有一個數是3的倍數。

因為(a,b,c)是本原勾股數組，所以必有a,b一奇一偶。不妨設a為奇數，b為偶數，這時候對a^2+b^2=c^2兩邊同時\bmod 8，則會得到b^2 \equiv 0 \pmod{8} ，故4\mid b，所以a,b一定有且只有一個數是4的倍數。

利用完全平方數\equiv 0,1,4 \pmod{5} 若a,b,c都不是5的倍數，則a^2+b^2 \equiv 0或2或3\pmod{5}，而c^2 \equiv 1 或4\pmod{5}，矛盾，所以a,b,c一定有且只有一個數是5的倍數。

證畢。

找尋勾股數的小技巧
若需要一組最小數為奇數的勾股數，可任意選取一個 3 或以上的奇數，將該數自乘為平方數，除以 2，答案加減 0.5 可得到兩個新的數字，這兩個數字連同一開始選取的奇數，三者必定形成一組勾股數。但卻不一定是以這個選取數字為起首勾股數的最小可能或唯一可能，例如(27,364,365)並非是以 27 為起首的唯一勾股數，因為存在另一個勾股數是(27,36,45)，同樣也以 27 為首。

對於任何大於1的整數x，x^2+1、x^2-1與2x，三個數必為畢氏數，例如：代入x為2，則x^2+1為5，x^2-1為3，2x為4，(3,4,5)為一組畢氏數。

推廣
费马最后定理指出，若a^n+b^n=c^n，而n是大于 2 的整数，(a,b,c)即没有正整数解。

參見

  • 勾股定理
  • 費馬最後定理
  • 特殊直角三角形#常見的勾股数

參考資料
外部链接

#勾股定理 #数论中的平方 #丟番圖方程 #平面几何算术问题

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