布羅卡問題

布羅卡問題（）是數學中的一個問題，旨在尋找使 n!+1 成為完全平方數的整數 n ，其中 n! 表示階乘。目前僅知三組解：4、5、7，且尚不清楚是否存在更多解。

更正式地說，它尋找整數對 n 和 m，使得n!+1 = m^2

該問題由亨利·布羅卡於1876年與1885年的兩篇論文中提出，並於1913年由斯里尼瓦瑟·拉馬努金獨立提出。

並且數學家田士弘也提出另外3個變體布羅卡問題

1.n!+1+(n+1)!=m^2只有3解［1,2,5］

2.（n+1)!±(n-1)!±n!=m^2只有3解［1,2,3］

3,n!+n=m^2只有3解［0,2,3］

布朗數
解決布羅卡問題的數對 (n,m) 由柯利弗德·皮寇弗於1995年著作《通往無限的鑰匙》（Keys to Infinity）中命名為布朗數（Brown numbers），此命名源於他從凱文·S·布朗（Kevin S. Brown）處獲悉該問題。截至2022年10月，目前僅知有三組布朗數：

(4,5),\;(5,11),\;(7,71)

基於下列等式

4! + 1 = 5^2 = 25
5! + 1 = 11^2 = 121
7! + 1 = 71^2 = 5041

艾狄胥·帕爾推測不存在其他解法。計算搜索已進行至一兆次，仍未發現更多解法。

與abc猜想的關聯
若abc猜想成立，則布朗數僅有有限個。更普遍而言，abc猜想亦將推導出：
n!+A = k^2
對於任何給定的整數 A，其解數目僅為有限個，且
n! = P(x)
對於任何給定的整係數多項式 P(x)，其次數至少為2時，僅存在有限個整數解。

參考資料
延伸閱讀
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外部連結
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