无穷递降法

无穷递降法，又名無窮遞減法（），是数学中证明方程无解的一种方法。

步骤

• 假设方程有解，并设X为最小的解。
• 从X推出一个更小的解Y。
• 从而与X的最小性相矛盾。所以，方程无解。

一些實用的例子
a2+b2=3(s2+t2)無非平方解
证明下列方程无正整数解:

:a^2+b^2=3 \cdot (s^2+t^2),\,

证明:

假设该方程有正整数解。

设a_1, b_1, s_1, t_1为最小的解。即

: a_1^2+b_1^2 = 3 \cdot (s_1^2+t_1^2)

显然，a_1和b_1都必须能被3整除。设

:3 a_2 = a_1\, 及 3 b_2 = b_1.\,

我们得到

: (3 a_2)^2 + (3 b_2)^2 = 3 \cdot (s_1^2+t_1^2)

: 3(a_2^2+b_2^2) = s_1^2+t_1^2.\,

这是更小的解，与a_1, b_1, s_1, t_1的最小性相矛盾。所以，原方程无正整数解。

\sqrt{2}的無理性
假設\sqrt{2}是有理數，即p^2=2q^2有正整數解。

令(p,q)是此方程的最小解

易知p是偶數，從得q是偶數

⇒(p/2,q/2)

和(p,q)是此方程的最小解矛盾，故無正整數解

⇒從得\sqrt{2}是無理數

參見
*韦达跳跃
*反證法