在數學裡，庫默爾定理能計算给出的二项式的係數的 p-進賦值，即\binom nm含p的幂次。 本定理以恩斯特·庫默爾命名。
定理
庫默爾定理指出，給定整数 n\geq m\geq 0和一个質數 p, p-adic賦值 \nu_p\left( \tbinom n m \right) 等於以 p 為基底時m加 n-m的進位次數。
例子
要计算 \nu_2\left(\tbinom{10}{3}\right)，写出 m=3 和 n-m=7 的二进制表示 3=11_2 和 7=111_2。进行二进制加法 11_2+111_2=1010_2 需要进位三次。 故 \tbinom{10}{3} = 120 = 2^3 \cdot 15 中 2 的次数是 3。
求具有下述性质的所有整数k：存在无穷多个正整数n，使得n+k不整除 \binom{2n}n。
解 ∵ \binom{2n}{n-1}=\frac{2n(2n-1)\cdots(n+2)}{(n-1)!}=\frac{n}{n+1}\binom{2n}n,
∴ \frac1{n+1}\binom{2n}n=\binom{2n}n-\binom{2n}{n-1} 是整数，
∴ n+1\left|\binom{2n}n\right. 对任意正整数n成立，从而 1 不满足要求.
当k\leq 0时，取n=p-k（p为奇素数，p>-2k），满足要求.
当k\geq 2时，取k的一个素因子p，选取正整数m使得 p^m>k，令 n=p^m-k，我们证明：
n+k 不整除 \binom{2n}n.
2n=n+n 最多进位m-1次. 由库默尔定理，\nu_p\left(\binom{2n}n\right)\le m-1，
∵ n+k=p^m，∴ n+k不整除\binom{2n}n.
从而存在无穷多个n满足要求.
综上，k是任意不为1的整数.
證明
將组合数{\tbinom {m+n}{m}}寫成\tbinom{m+n}m={\tfrac {(m+n)!}{m!n!}}
根据勒让德定理，它所含p的幂次数为
\sum_{i=1}^{\infty}\left[\frac{m+n}{p^i}\right]-\sum_{i=1}^{\infty}\left[\frac{n}{p^i}\right]-\sum_{i=1}^{\infty}\left[\frac{m}{p^i}\right]
=\sum_{i=1}^{\infty}\left\{\left[\frac{m+n}{p^i}\right]-\left[\frac{n}{p^i}\right]-\left[\frac{m}{p^i}\right]\right\}
\left[\frac{n}{p^i}\right]等于n在p进制表示下，截去末i位得到的数，因此
\left[\frac{m+n}{p^i}\right]-\left[\frac{n}{p^i}\right]-\left[\frac{m}{p^i}\right]=\begin{cases}1&\text{若 第 }i+1\text{ 位 有 进 位}\\0&\text{若 第 }i+1\text{ 位 不 进 位}\end{cases}
最后对i求和，就是m+n在p进制下的进位次数。
多项系数的一般化
庫默爾定理，可以推广到 多项系数 \tbinom n {m_1,\ldots,m_k} := \tfrac{n!}{m_1!\cdots m_k!} ：
將 n 以 p為基底寫做 n=n_0+n_1p+n_2p^2+\cdots+n_rp^r和定义 S_p(n)=n_0+n_1+\cdots+n_r 是 p 基底的数位和。 則
\nu_p\left( \dbinom n {m_1,\ldots,m_k} \right) = \dfrac{1}{p-1} \left( \sum_{i=1}^k S_p(m_i) - S_p(n)\right).
參見
- 卢卡斯定理
参考文献
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