五邊形數定理是一個由歐拉發現的數學定理，描述歐拉函數\phi(q)展開式的特性
。歐拉函數的展開式如下：
:\prod_{n=1}^\infty (1-x^n)=\sum_{k=-\infty}^\infty(-1)^kx^{\frac{k(3k-1)}{2}}=\sum_{k=0}^\infty(-1)^kx^{\frac{k(3k\pm 1)}{2}}
亦即
:(1-x)(1-x^2)(1-x^3) \cdots = 1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} + \cdots.
歐拉函數展開後，有些次方項被消去，只留下次方項為1, 2, 5, 7, 12, ...的項次，留下來的次方恰為廣義五邊形數。
若將上式視為幂級數，其收斂半徑為1，不過若只是當作形式冪級數來考慮，就不會考慮其收斂半徑。
和分割函數的關係
歐拉函數的倒數是分割函數的母函數，亦即：
:\frac{1}{\phi(x)}=\sum_{k=0}^\infty p(k) x^k
其中p(k)為k的分割函數。
上式配合五邊形數定理，可以得到
:(1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} + \cdots)(1 + p(1)x + p(2)x^2 + p(3)x^3 + \cdots)=1
考慮x^n項的係數，在 n>0 時，等式右側的係數均為0，比較等式二側的係數，可得
:p(n) - p(n-1) - p(n-2) + p(n-5) + p(n-7) + \cdots=0
因此可得到分割函數p(n)的递归式
:p(n) = p(n-1) + p(n-2) - p(n-5) - p(n-7) + \cdots
以n=10為例
:p(10) = p(9) + p(8) - p(5) - p(3) = 30 + 22 - 7 - 3 = 42
參考資料
外部連結
- [https://web.archive.org/web/20080422070407/http://front.math.ucdavis.edu/math.HO/0510054 Euler and the pentagonal number theorem]
- [https://www.mathpages.com/home/kmath623/kmath623.htm On Euler's Pentagonal Theorem] at MathPages
- [http://mathworld.wolfram.com/PentagonalNumberTheorem.htmlPentagonal Number Theorem.] at MathWorld
*[https://pages.uoregon.edu/koch/PentagonalNumbers.pdf The Pentagonal Number Theorem and All That] from Dick Koch.
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