設集合A \subseteq \mathbb{Z}，A(n) = |A \cap \{1, 2, \ldots , n \} |，A中不大於n的元素的數目。施尼勒尔曼密度（Schnirelmann density）函數\sigma : \mathcal{P}( \mathbb{Z}) \to [0,1]，或A的施尼勒尔曼密度定義為：
: \inf_n \frac{A_n}{n}
其中inf表示最大下界。若使用\lim_{n \to \infty} \frac{A(n)}{n}（如自然密度），可能不存在極限，施尼勒尔曼密度的其中一個好處在於它總是有值的。
性質
- 0 \le \sigma A \le 1
- \forall n\ A(n) \ge n \sigma A
- \sigma A = 1 \leftrightarrow A = \N
- \forall k \ k \notin A \rightarrow \sigma A \le 1-1/k.
: 特別地
::1 \notin A \rightarrow \sigma A = 0
::2 \notin A \rightarrow \sigma A \le 1/2
- \sigma A=0 \rightarrow \forall \epsilon>0\ \exists n\ A(n)
曼定理
設\mathfrak{G}^2 = \{k^2\}_{k=1}^{\infty}，拉格朗日四平方和定理可以寫成 \sigma(\mathfrak{G}^2 \oplus \mathfrak{G}^2 \oplus \mathfrak{G}^2 \oplus \mathfrak{G}^2) = 1，其中A\oplus B表示A和B的和集。
顯然，\sigma \mathfrak{G}^2 = 0，另外也有\sigma(\mathfrak{G}^2 \oplus \mathfrak{G}^2) = 0。那麼施尼勒尔曼密度1是怎樣得來的呢？原來\sigma(\mathfrak{G}^2 \oplus \mathfrak{G}^2 \oplus \mathfrak{G}^2) = 5/6。儘管只有一、兩個平方數集的和集的密度都是0，但之後和集的施尼勒尔曼密度會慢慢增加。
施尼勒尔曼指出：
: \sigma(A \oplus B) \ge \sigma A + \sigma B - \sigma A \cdot \sigma B
證明了更強的條件：
: \sigma(A \oplus B) \ge \min( \sigma A + \sigma B , 1)
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