哥德巴赫猜想

哥德巴赫猜想（）是數論中存在最久的未解問題之一。这个猜想最早出现在1742年普鲁士數學家克里斯蒂安·哥德巴赫与瑞士数学家莱昂哈德·欧拉的通信中。用现代的数学语言，哥德巴赫猜想可以陳述為：
:
这个猜想与当时欧洲数论学家讨论的整数分拆问题有一定联系。整数分拆问题是一类讨论“是否能将整数分拆为某些拥有特定性质的数的和”的问题，比如能否将所有整数都分拆为若干个完全平方数之和，或者若干个完全立方数的和等。而將一个給定的偶數分拆成兩個質數之和，则被稱之為此數的哥德巴赫分拆。例如，

: 4 = 2 + 2
: 6 = 3 + 3
: 8 = 3 + 5
: 10 = 3 + 7 = 5 + 5
: 12 = 5 + 7
: 14 = 3 + 11 = 7 + 7
: 16 = 3 + 13 = 5 + 11
: …

換句話說，哥德巴赫猜想主張每個大於等於4的偶數都是哥德巴赫數——可表示成兩個質數之和的數。哥德巴赫猜想也是二十世纪初希爾伯特第八問題中的一個子問題。

其實，也有一部分奇數可以用兩個質數的和表示，大多數的奇數無法用兩個質數的和表示，例如：15=2+13、19=2+17，而23、35等數则無法用兩質數的和表示。

哥德巴赫猜想在提出后的很长一段时间内毫无进展，直到二十世纪二十年代，数学家从组合数学与解析数论两方面分别提出了解决的思路，并在其后的半个世纪里取得了一系列突破。目前最好的结果是中國數學家陈景润在1973年发表的陈氏定理（也被称为“1+2”）。

哥德巴赫猜想另一个较弱的版本（也称为弱哥德巴赫猜想）是猜想大于5的奇数都可以表示成3个质数之和。这个猜想可以从哥德巴赫猜想推出。1937年，苏联數學家伊万·维诺格拉多夫证明了每个充分大的奇数都可以表示成3个质数之和；2013年，秘鲁数学家哈洛德·贺欧夫各特完全证明了弱哥德巴赫猜想。

起源
1742年6月7日，普鲁士数学家克里斯蒂安·哥德巴赫在写给瑞士数学家莱昂哈德·欧拉的通信中，提出了以下的猜想：
:任一大于2的整数都可以寫成三个質数之和。

上述与现今的陳述有所出入，原因是当时的哥德巴赫遵照的是“1也是素数”的约定。现今数学界已经不使用这个约定了。哥德巴赫原初猜想的现代陳述为：
: 任一大于5的整数都可寫成三个質数之和。
欧拉在6月30日的回信中註明此一猜想可以有另一個等價的版本：
:(A): 任一大于2的偶数都可寫成两个質数之和。
並將此一猜想視為一定理，但他卻無法證明。今日常見的猜想陳述為歐拉的版本，亦稱為“強哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德巴赫猜想”。

从关于偶数的哥德巴赫猜想，可推出：
:(B): 任一大於5的奇數都可寫成三個質數之和
的猜想。後者稱為“弱哥德巴赫猜想”或“关于奇数的哥德巴赫猜想”。若关于偶数的哥德巴赫猜想是對的，則关于奇数的哥德巴赫猜想也會是對的。1900年，希尔伯特在第二届国际数学家大会上提出的著名的二十三个希尔伯特问题之中的第八个问题，就包括了哥德巴赫猜想和与它类似的孪生素数猜想。这次突破与十九世纪至二十世纪初欧洲数学家们在数论与函数论方面取得的辉煌成就是分不开的。欧拉、高斯、黎曼、狄利克雷、阿达马等人的成果为后来的研究提供了强有力的工具和深厚的积累，打下了牢固的基础。当然，“几乎每一个”与“每一个”之间仍然有巨大的技术鸿沟。

大约于此同时，挪威数学家布朗提供了另外一种证明的思路。1919年，他使用推广后的“筛法”证明了：所有充分大的偶数都能表示成两个数之和，并且两个数的质因数个数都不超过9个。应用到哥德巴赫猜想上的话，圆法的思想是：对于非零整数m，沿着单位圆为路径的环路积分
:\begin{align}
\int_0^1 e^{2\pi i m t} \mathrm{d} t = 0.
\end{align}

当且只当整数m=0的时候，上面的积分才等于1。因此，如果考虑积分式：
:D(N) = \int_0^1 S^2(t,N)e^{- 2\pi i N t} \mathrm{d} t.
其中S(t,N) = \sum_{2 ，那么这个积分式实际上等于：
:

\begin{align}
D(N) &= \int_0^1 \sum_{2
上式中第二项等于0，所以

:D(N) =方程“p_1+p_2 = N”的解( p_1, p_2 )的个数。
所以，关于偶数的哥德巴赫猜想其实等于是说对于所有大于等于6的偶数N，单位圆上的环路积分式D(N) > 0。同理，关于奇数的哥德巴赫猜想等价于环路积分式：
:T(N) = \int_0^1 S^3(t,N)e^{- 2\pi i N t} \mathrm{d} t > 0
因此，研究哥德巴赫猜想可以归结为研究积分式D(N) 和 T(N) 中以质数为变数的三角多项式e^{2\pi i p t}。哈代和利特尔伍德猜测，当变量t接近于分母“比较小”的既约分数时，S(t,N) 的值会“比较大”，而当t接近于分母“比较大”的既约分数时，S(t,N) 的值会“比较小”。也就是说，积分D(N)的主要部分其实是单位圆上分母“比较小”的那些既约分数附近的积分，其它的部分上积分则没那么重要，可以忽略掉了。因此，可以将整个单位圆分成两个部分：一部分是单位圆上分母“比较小”的那些既约分数附近包括的一些区间，哈代和利特尔伍德称其为“优弧”（，与平面几何中的“优弧”不同），其余的部分则称为“劣弧”（）。将整个积分 D(N) 分成优弧上的积分D_1(N) 与劣弧上积分 D_2(N) 之和，然后证明 D_2(N) 相比起 D_1(N) 可以忽略，而 D_1(N)> 0，这就是圆法的主要思想。

筛法与布朗方法
布朗使用的“筛法”，其原型为埃拉托斯特尼筛法，早在公元前250年就出现在古希腊。原始的筛法可以用来寻找一定范围内（比如说2到100）的质数：先将第一个数2留下，将它的倍数全部划掉；再将剩余数中最小的3留下，将它的倍数全部划掉；继续将剩余数中最小的5留下，将它的倍数全部划掉……以此直至划无可划为止。这个过程就好像一遍又一遍的筛掉不需要的数字，故名筛法。布朗用到的推广筛法也是基于同样的理念：给定一个需要筛选的集合\mathfrak{A}，一个用来作为筛选标准的“筛孔”，即一系列质数的集合\mathit{P}= {p_1, p_2, \cdots, p_n, \cdots}，以及一个范围z。记
:P(z) = \prod_{p_k
那么可以定义筛函数：
:S\left( \mathfrak{A}, \mathit{P}, z \right) = \sum_{a \in \mathfrak{A} } \mathbf{1}_{ \{(a, P(z)) = 1\} }(a)
表示集合\mathfrak{A}里所有与P(z) 互质的数的个数，也就是筛去了\mathit{P}内小于z的质数的所有倍数之后还剩下的数字的个数。其中的 n 和N-n都与\prod_{p_k^\lambda 互质，也就是说它们的质因数都要大于等于 N^{1/ \lambda} ，因此它们的质因数个数至多有a = \lceil \lambda \rceil - 1 个。所以对于\lambda来说筛函数大于0，等价于命题“a+a”成立。如果能证明\lambda = 2的时候筛函数大于0，就等于证明了关于偶数的哥德巴赫猜想。1946年，苏联数学家沿着哈代和利特尔伍德的道路前进，使用函数论的方法同样证明了维诺格拉多夫的结果，2001年廖明哲及王天泽进一步将下限降至。

1938年，华罗庚证明了弱哥德巴赫猜想的一个推广：任意给定一个整数，每个充分大的奇数都可以表示的形式。当 = 的时候，就是弱哥德巴赫猜想。賀歐夫各特生于1977年，秘鲁籍，2003年获得普林斯顿大学博士学位。2010年开始担任法国国家科学研究院和巴黎高等师范学院的研究员。2012年5月，賀歐夫各特发表论文《论哥德巴赫问题的劣弧》（）中给出了劣弧积分估计的一个更优上界）。阿特勒·塞尔伯格利用求二次型极值的方法极大地改进了布朗的筛法，对筛函数的上界和下界做出了更精确的估计，从而出现了更优的结果：维诺格拉多夫在1956年证明了“3+3”，王元在1956年证明了“3+4”，并在1957年证明了“3+3”和“a+b”（a+b\scriptstyle 4 \cdot 10^{14}以下的偶数都能表示成两个质数的和。很多时候，偶数表示成两个质数和的方法还不止一种，比如18 = 5+13=7+11，64 = 3+61=5+59 = 11+53 = 17+47 = 23+ 41，等等。设有偶数N，它的哥德巴赫分拆数G_2(N)定义为它能够表示成两个质数相加之和的方法的个数，也就是集合\left\{ (p_1, p_2) \left| p_1 + p_2 = N, p_1 \leqslant p_2 \right. \right\}中元素的个数：
:G_2(N) = \operatorname{Card}\left\{ (p_1, p_2) \left| p_1 + p_2 = N, p_1 \leqslant p_2 \right. \right\}
哥德巴赫猜想就等于是说，每个大于等于6的偶数的哥德巴赫分拆数都大于0。如果能够找到哥德巴赫分拆数的表达式，或者找到它的某个严格大于0的下限，就能够证明哥德巴赫猜想了。因此，有不少关于哥德巴赫分拆数的范围的猜测。1923年，英國數學家哈代和李特爾伍德猜测。
*1964年，M·L·斯坦恩和P·R·斯坦恩验证了小于\scriptstyle 10^7的偶数。
*1989年，A·格兰维尔将验证范围扩大到\scriptstyle 2 \times 10^{10}。
*1993年，Matti K. Sinisalo验证了\scriptstyle 4 \times 10^{11}以内的偶数。
*2000年，Jörg Richstein验证了\scriptstyle 4 \times 10^{14}以内的偶数。

截至2014年，数学家已经验证了\scriptstyle 4 \times 10^{18}以内的偶数，在所有的验证中，没有发现偶数哥德巴赫猜想的反例。

类似猜想和定理
在数论中，有一些类似于哥德巴赫猜想的命题，其中有一些已经被证明，其余的仍然属于猜想，如哥德巴赫猜想一样。
李維猜想（勒穆瓦纳猜想），由法国数学家于1895年提出。命题为：所有大于5的奇数n* 都能写成一个质数和另一个质数的两倍的和，
*:n = p_1 + 2 p_2
：对于任何一个正整数n，是否存在一个数k，使得每个充分大的整数都可以写成k个质数的n*次幂的和？
*:N = p^n_1 + p^n_2 + \cdots + p^n_k
:华林-哥德巴赫问题在1938年被华罗庚解决。他证明了对每个n，上述所说的k都存在。此后数学家们转而研究对于特定的n与k时相关的猜想。
*孪生素数猜想：哥德巴赫猜想是关于整数表达成素数之和的猜想，相对应的，也有整数表达成素数之差的猜想。孪生素数问题是其中最自然的一个：是否有无穷个素数对(p1, p2)，满足
*:p_1 - p_2 = 2

相关文化
*1978年，散文家、诗人徐迟应《人民文学》月刊杂志邀请写作了以陈景润证明“1+2”命题为主题的报告文学《哥德巴赫猜想》。文章在《人民文学》上发表后，产生了很大反响，也令中国大陆普通民众对哥德巴赫猜想留下印象。哥德巴赫猜想是中国民间科学爱好者热衷研究的数学问题之一。在徐迟的报告文学影响下，不少民间科学爱好者对哥德巴赫猜想产生兴趣，许多人自称在此问题上取得了进展，甚至自称证明了哥德巴赫猜想。中国科学院每年都收到“几麻袋”的讨论或声称证明了哥德巴赫猜想的来信来稿。不少报章也刊登过哥德巴赫猜想被民间科学爱好者证明的消息。许多数学家都认为，缺乏专业的学科知识和系统的训练的人，是无法在哥德巴赫猜想上做出进展的，甚至不可能理解此方面的研究。数学家建议，相关爱好者在研究哥德巴赫猜想之前至少应当“系统掌握相应的数学知识，以免走不必要的弯路”。中國科學院數學與系統科學研究院研究員陸柱家稱「業餘研究者是無法證明這個猜想（哥德巴赫猜想）的，除非世界一流的數學家，否則無法求證」、「哥德巴赫猜想是一個艱深的數論難題，證明它所需要的數學能力和突出的思維能力，都並非普通數學愛好者所能企及」。中国科学院已声明不会审理来自科学共同体之外的任何自称证明了哥德巴赫猜想的文章。
*希腊作家阿波斯托洛斯·佐克西亚季斯的小说《彼得罗斯大叔和哥德巴赫猜想》于2000年出版。其中讲述了一个年轻人和他的叔叔，一个致力于研究哥德巴赫猜想的数学研究者的故事。英国费伯出版社和美国布卢姆斯伯里出版社在出版这本小说时悬赏一百万美元，奖励能在小说出版后两年之内能够证明哥德巴赫猜想的人。然而奖金无人获得。

参见

• 素数
• 埃拉托斯特尼筛法
• 素数判定法则
• 孪生素数

注释
参考资料
相关书籍
#徐遲介绍陈景润的报告文学《哥德巴赫猜想》（《人民文學》1978年第1期）
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外部連結
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• [http://www.math.dartmouth.edu/~euler/correspondence/letters/OO0765.pdf Goldbach's original letter to Euler — PDF format (in German and Latin)]

[http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=GoldbachConjecture Goldbach's conjecture*], part of Chris Caldwell's Prime Pages.
[http://www.ieeta.pt/~tos/goldbach.html Goldbach conjecture verification*], Tomás Oliveira e Silva's distributed computer search.