主理想
在抽象代数里，主理想（principal ideal）是可由环中的一个特定元素所生成的理想。 与理想类似，也有相关的左主理想、右主理想、双边主理想的概念。 主理想可以用来讨论任意交换幺环当中的整除性，将所有元素之间整除相关的概念重新用主理想的关系表述。所有理想都是主理想的环，称为主理想整环，在环论中有特别的重要性。 定义与基本性质 设R是一个（未必是幺的）环，而a \in R是环中一个元素，则由 a 生成的主理想是所有包含 a 的理想之…
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共 10 篇文章
素理想
在数学中，素理想（Prime ideal）是环的一个子集，与整数环中的素数共享许多重要的性质。 正式定义 环R的理想P是素理想，当且仅当它是一个真理想（也就是说，P ≠ R），且对于R的任何两个理想A和B，若有AB ⊆ P，则A ⊆ P或B ⊆ P。 交换环的素理想 素理想对交换环有一个较简单的描述：设R是一个交换环，如果它具有以下两个性质,那么R的理想P是素理想： 只要a，b是R的两个元素，使得它们的乘积ab位于P内，那么要么a位于P…
理想 (环论)
理想（）是一个环论中的概念。 若某环的子集为在原环加法的定义下的子群，且其中的元素在原环乘法下与任意原环中的元素结果都在该子群中，则称其为原环的理想。 通俗地说，一环的理想在加法上成群且在乘法上表现如同一个黑洞。 理想是整数的某些子集，例如偶数或3的倍数组成的集合的推廣。两个偶数相加或相减结果仍是偶数，偶数与任意整数相乘的结果也仍是偶数；这些闭包和吸收的性质正是理想的定义。理想可以被用来构造商环，这类似于在群论里，正规子群可以被用来构造…
雅各布森根
在抽象代数之分支环理论中，一个环 R 的雅各布森根（）是 R 的一个理想，包含在某种意义上“与零接近”的那些元素。 定义 雅各布森根记做 J(R) 可用如下等价的方式定义： 所有极大左理想之交。 所有极大右理想之交。 所有单左 R-模的零化子之交。 所有单右 R-模的零化子之交。 所有左之交。 所有右本原理想之交。 { x ∈ R : 对任何 r ∈ R 存在 u ∈ R 使得 u (1-rx) = 1 } { x ∈ R : 对任何 …
理想類群
理想類群（）是代數數論的基本對象之一，簡稱類群。 一個代数数域的理想类群是形如 的商群; 此处 是代数数域的整数环的所有分式理想构成的群; 而是这个群的子群，包含所有可以被一个元素生成的分式理想(类似主理想的定义)。 理想类群在一定程度上可以测量的整数环中算术基本定理(唯一分解)被破坏程度: 只有当理想类群的秩为1时，代数数域的整数环才是唯一分解整环。理想类群的秩又被称作为代数数域的“类数”。 形式定義 設 \mathcal{O} 為戴…
主理想定理
在数学中，类域论(代数数论的一个分支)的主理想定理指出，理想的扩張给出了從代数数域的类群到其希尔伯特类域的类群的映射，从而將所有理想类送到主理想類。这种现象也被称为主理想化。 正式命題 对于任何代数数域K和K的整数环中的任何理想I ，如果L是K的希尔伯特类域，则 : IO_L\ 是主理想\alpha O_L ，此處，O_L為L的整数环且\alpha為O_L中的元素 。 历史 大衛·希爾伯特於1902年給出主理想定理的猜想 ，这是他的類域…
理想数
在数论中，理想数是在某个数域的整数环中表示一个理想的代数数。理想数的概念由恩斯特·库默尔首先引进，并导致理查德·戴德金发展出环的理想的概念。一个整环中的理想被称作主理想当且仅当它是由某个元素的所有倍数组成。 性质 举例来说，设 y 为方程 y2 + y + 6 = 0 的根，则扩域\mathbb{Q}(y)中的整数环为 \mathbb{Z}[y]，即所有 a + by 形式的数，其中a 和 b 为一般的整数。环中一个非主理想的例子是 \…
準素理想
在交換代數中，一個交換環 R 裡的理想 Q 若滿足 R/Q \neq (0)，而且其中每個零除數都是冪零的，則稱之為準素理想。另一種等價的刻畫是：對任意 a,b \in R，若 ab \in Q，則或有 a \in Q，或 \exists n \, b^n \in Q。 若設 P 為 Q 的根（必為素理想），則也稱 Q 為P-準素理想。 任何素理想都是準素理想。在整數環 \Z 中，準素理想對應到素數的冪。 一般而言，對任何 R-模 M，…
分式理想
在数学中，特别是交换代数中，分式理想的概念是在对整环的研究中所引入的，并且在戴德金整环的研究中得到丰富。类似于通过给整数引入分母而产生了分数，在整环中，分式理想可认为是为理想引入了的分母。在特定上下文中，为了有所区别，环的普通理想常被强调为整理想。 定义和基本结论 设R是一个整环，K是其分式域。R的分式理想定义为K 的一个R-子模I，使得存在一个非零的r \in R ，满足rI \subset R。r可以被认为是子模I的“分母”，如果一…
理想的根
在數學中的環論領域，一個理想的根是一個較大的理想，它約略是該理想的某種閉包。根理想是等於其自身的根的理想。 理想的根又可分為雅各布森根與冪零根，前者較後者為大。 交換環的冪零根 設 R 為交換環，I \subset R 為其理想。該理想的冪零根 \mathrm{Rad}(I)（或 \sqrt{I}）定義為 :\hbox{Rad}(I)=\{r\in R|\exists n, \;r^n\in I\ \}。 由二項式定理可知 \mathr…