在代数数论，基本单位，是数域中代数整数环的生成元（即模单位根），可理解为单位群模其扭子群是个无限循环群。狄利克雷单位定理表明：rank=1的有实二次域，复三次域，完全四元数域。
随时代发展，当对rank ≥1*基本单位也被有些作者叫基本单位系，rank=1时的才基本单位，这只是基本单位系的一个系元.
实二次域
实二次域K=\mathbf{Q}(\sqrt{d})（d无平方因子），如果Δ表示代数数域K的判别式，则基本单位是：
:\epsilon=\frac{a+b\sqrt{\Delta}}{2}
其中 (a, b) 是下面佩尔方程的最小正整数解
:x^2-\Delta y^2=\pm4
上面的佩尔方程可通过\sqrt{\Delta}的连分数展开获得。这个不定方程现在得出一些结论：
*\sqrt{\Delta}连分数展开是奇周期的。
有概率表明Δ如果能整除一个3mod4的同余的素数，那麽K有範为-1的单位概率较大。如d=34就为反例，1990年，Peter Stevenhagen 提出个概率模型，专找反例。特别的，当 Δ −(X*)有範为-1的单位概率为：
:\lim_{X\rightarrow\infty}\frac{D^-(x)}{D(x)}=1-\prod_{j\geq1\text{ odd}}\left(1-2^{-j}\right).。
也就是这种特例下有42%反例，至2012年3月，最近对这个猜想的结果
为可有33％~59％的反例。
三次域
如果“K”是只有一个实嵌入的复三次域，且在嵌入中基本单位ε赋值满足|ε| > 1 ，判别式赋值|Δ| ≥ 33， 则：
:\epsilon^3>\frac{|\Delta|-27}{4}.
例：\mathbf{Q}(\sqrt[3]{2})基本单位的1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{2^2} 的三次方≈ 56.9, ，判别式= −108
则：
:\frac{|\Delta|-27}{4}=20.25.
脚注
参考文献
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