P進賦值

\boldsymbol{p}進賦值是數論中能整除正整數n的質數p的最高次方，一般記做\nu_p(n)，等價於n的質因數分解中p的次方數。此概念可被延伸至有理數。

p進賦值是一種賦值，可導出對應的p進絕對值。正如有理數經常規絕對值完備化可得到實數\mathbb{R}，經p進絕對值完備化後，則可得到p進數\mathbb{Q}_p。

定義
進賦值
給定質數p，定義函數

\nu_p:\mathbb{Q} \to \mathbb{Z} \cup \{\infty\}, \quad x \mapsto \begin{cases}
\infty & \text{if } x = 0, \\[0.3em]
k & \text{if } x = p^k \frac{a}{b} \quad (a, b, k \in \mathbb{Z},\, p \nmid a,\, p \nmid b).
\end{cases}

其中p \nmid a和p \nmid b表示分子a和分母b皆不被p整除。而p^k \parallel x符號有時代指k = \nu_p(x)。

以正整數12為例，

\begin{aligned}
\nu_2(12) &= \nu_2 \big(2^2 \cdot \tfrac{3}{1}\big) = 2, \\
\nu_3(12) &= \nu_3 \big(3^1 \cdot \tfrac{4}{1}\big) = 1, \\
\nu_5(12) &= \nu_5 \big(5^0 \cdot \tfrac{12}{1}\big) = 0.
\end{aligned}

再以有理數\tfrac{9}{8}為例，

\begin{aligned}
\nu_2\big(\tfrac{9}{8}\big) &= \nu_2 \big(2^{-3} \cdot \tfrac{9}{1}\big) = -3, \\
\nu_3\big(\tfrac{9}{8}\big) &= \nu_3 \big(3^2 \cdot \tfrac{1}{8}\big) = 2, \\
\nu_5\big(\tfrac{9}{8}\big) &= \nu_5 \big(5^0 \cdot \tfrac{9}{8}\big) = 0.
\end{aligned}

進絕對值
給定質數p，定義函數

|\cdot|_p : \mathbb{Q} \to \mathbb{R}_{\ge 0}, \quad x \mapsto p^{-\nu_p(x)}.

而對於x = 0，|0|_p = p^{-\nu_p(0)} = p^{-\infty} = 0。

以正整數12為例，

\begin{aligned}
|12|_2 &= 2^{-\nu_2(12)} = 2^{-2} = \tfrac{1}{4}, \\
|12|_3 &= 3^{-\nu_3(12)} = 3^{-1} = \tfrac{1}{3}, \\
|12|_5 &= 5^{-\nu_5(12)} = 5^{0} = 1.
\end{aligned}

再以有理數\tfrac{9}{8}為例，

\begin{aligned}
\left|\tfrac{9}{8}\right|_2 &= 2^{-\nu_2\big(\frac{9}{8}\big)} = 2^{-(-3)} = 8, \\
\left|\tfrac{9}{8}\right|_3 &= 3^{-\nu_3\big(\frac{9}{8}\big)} = 3^{-2} = \tfrac{1}{9}, \\
\left|\tfrac{9}{8}\right|_5 &= 5^{-\nu_5\big(\frac{9}{8}\big)} = 5^{-0} = 1.
\end{aligned}

在有理數集\mathbb{Q}上，可定義如下一個（非阿基米德且具的）度量：
:d : \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \to \mathbb{R}_{\ge 0}
其定義為：
:d(r,s) = |r - s|_p
以獲此度量對\mathbb{Q}進行完備化，所得到的完備度量空間（及數域）即為p進數集\mathbb{Q}_p。

部分文獻可能會將p進絕對值稱為「p進範數」（）；然而為了避免與實數向量空間的範數概念相混淆，現代代數數論嚴格將其稱為「p進絕對值」或「p進賦值」。

性質
以下的p皆指代某個質數。

進賦值

• 對有理數q，有\nu_p(q) = \nu_p(-q) = -\nu_p\big(\tfrac{1}{q}\big)。
• 對有理數q_1, q_2，有\nu_p(q_1 q_2) = \nu_p(q_1) + \nu_p(q_2)。
• 對正整數k和有理數q，有\nu_p\big(q^k\big) = k \cdot \nu_p(q)。
• 對有理數q_1, q_2，有

\begin{cases}
\nu_p(q_1 + q_2) \ge \min[\nu_p(q_1), \nu_p(q_2)] &\text{if } \nu_p(q_1) = \nu_p(q_2), \\
\nu_p(q_1 + q_2) = \nu_p(q_2) & \text{if } \nu_p(q_1) > \nu_p(q_2).
\end{cases}

• 對正整數n，有p^{\nu_p(n)} \le n，因此\nu_p(n) \le \log_p(n)。
• 對正整數n，其階乘n!的p進賦值可由勒讓德公式求得：

\nu_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \left\lfloor \frac{n}{p^k} \right\rfloor = \frac{n - S_p(n)}{p - 1}.

:其中\lfloor x \rfloor表示取整函數，S_p(n)表示正整數n在p進位制下的各位數字之和。

進絕對值

• 對有理數q，有|q|_p = \left|-q\right|_p。
• 對有理數q，有|q|_p \ge 0。
• 對有理數q，|q|_p = q的解為\{0, 1\}。
• 對有理數q_1, q_2，有|q_1 q_2|_p = |q_1|_p \cdot |q_2|_p。
• 對整數n，有\big|p^n\big|_p = p^{-n}
• 對有理數q_1, q_2，有|q_1 + q_2|_p \le \max\big(|q_1|_p, |q_2|_p\big)，因此|q_1 + q_2|_p \le |q_1|_p + |q_2|_p。

其他
由於對於任意非零有理數r \in \mathbb{Q}^\times，有

|r|_\infty = |r| = \prod_{q \in \mathbb{P}} q^{\nu_q(r)}.

其中\mathbb{P}表示質數集，|\cdot|_\infty表示常規絕對值，因此有如下的等式（稱為乘積公式，）：

|r|_\infty \cdot \prod_{q \in \mathbb{P}} |r|_q = \prod_{v \in M_\mathbb{Q}} |r|_v = 1.

其中的M_\mathbb{Q} = \mathbb{P} \cup \{\infty\}代表\mathbb{Q}的全體素點（）集合。

參見
*進數
*阿基米德公理
*重複度
*奥斯特洛夫斯基定理
*勒讓德定理

參考資料