二次互反律的证明
这个条目给出了二次互反律的证明。 二次互反律的叙述 对于两个奇素数p,q，\left( \frac{p}{q} \right) \cdot \left( \frac{q}{p} \right) = (-1)^{\frac{ (p-1)(q-1) }{4} }。其中，\left( \frac{p}{q} \right)是勒让德符号。 证明一 设p是一个奇素数并且a\not\equiv0\mod p。对于每个k=1,2,...,\frac{…
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特定指数的费马大定理的证明
费马大定理的完整证明是一个艰深的过程，但是，对于某些特定的指數n，其证明并不算十分复杂，因此在此展示费马大定理的特例证明。 n=4 证明x^4+y^4=z^4没有全不为0的整数解。 预备知识 假设x,y,z是满足x^2+y^2=z^2的一组互质的整数解，那么存在互质的整数a,b，使得x=a^2-b^2,y=2ab,z=a^2+b^2。 证明过程 1 假设(x,y,z)为方程x^4+y^4=z^2一个解并且x,y互质，y为偶数，则x^2=…
證明黎曼ζ函數的歐拉乘積公式
歐拉在他的論文《無窮級數的一些檢視》（Various Observations about Infinite Series）中證明黎曼ζ函數的歐拉乘積公式，並於1737年由當時的科學院出版。 公式 黎曼ζ函數以歐拉乘積的方式可寫成 :\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s} = \prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1-p^{-s}} 而左方等於黎曼ζ函數： :\zeta(s) = \su…
勞斯陣列的推導
勞斯陣列是劳斯–赫尔维茨稳定性判据中，用來判斷系統是否穩定的方式，是透過系統的特徵多項式係數所建立的陣列。勞斯陣列和是古典控制理論的核心，結合了歐幾里得算法和施图姆定理來計算。 柯西指標 給定系統 : \begin{align} f(x) & {} = a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n & {} \quad (1) \\ & {} = (x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_n) & {} \quad …