特定指数的费马大定理的证明

费马大定理的完整证明是一个艰深的过程，但是，对于某些特定的指數n，其证明并不算十分复杂，因此在此展示费马大定理的特例证明。

n=4
证明x^4+y^4=z^4没有全不为0的整数解。

预备知识
假设x,y,z是满足x^2+y^2=z^2的一组互质的整数解，那么存在互质的整数a,b，使得x=a^2-b^2,y=2ab,z=a^2+b^2。

证明过程
1
假设(x,y,z)为方程x^4+y^4=z^2一个解并且x,y互质，y为偶数，则x^2=a^2-b^2,y^2=2ab,z=a^2+b^2，其中a > b > 0，a、b互质，a、b的奇偶性相反。由x^2=a^2-b^2得a必定是奇数，b必定是偶数。

2
另外，亦得x^2+ b^2=a^2，再从此得x=c^2-d^2,b=2cd,a=c^2+d^2，其中c>d>0，c、d互质，c、d的奇偶性相反。

3
最后有y^2=2ab=4cd(c^2 + d^2)，由此得c、d和c^2+d^2为平方数。于是可设c=e^2,d=f^2,c^2+d^2=g^2,即e^4+f^4=g^2。换句话说，(e,f,g)为方程 x^4+y^4=z^2的另外一个解。但是，z=a^2+b^2=(c^2+d^2)^2+4c^2d^2>g^4>g>0。就是说如果我们从一个z值出发，必定可以找到一个更小的数值 g,使它仍然满足方程x^4+y^4=z^2。如此类推，我们可以找到一个比g更小的数值，同时满足上式。但是，这是不可能的！因为z为一有限值，这个数值不能无穷地递降下去！由此可知我们最初的假设不正确。

所以，方程x^4+y^4=z^2没有正整数解。