交叉項

在線性代數中，若二次型（quadratic form）中的項並非平方項，也就是說包含超過一個變數，這個項被稱為交叉項（cross-term）。

在信号处理領域中，交叉項通常指的是該項包含了兩個以上的元素（信號），與之相對的則是自身項（auto-term），自身項中只包含一個元素。

通常在進行時頻分析時，我們都會希望盡量避免交叉項的產生，因為交叉項會使得多個訊號疊加的時頻分布的圖形變得難以解讀，不同訊號之間也會難以分離。

線性代數中的交叉項
令 x,y \in \R^n ， n 是自然數 ，假設我們要展開 (x+y)^T (x+y) ，則經過計算可以得到：

\begin{align}
(x+y)^T (x+y) &= x^T x + y^T x + x^T y + y^T y \\
&= ||x||^2 + 2(x \cdot y) + ||y||^2
\end{align}

其中 ||x||^2 和 ||y||^2 都屬於自身項，因為它們分別只包含了一個變數；2(x \cdot y) 則是交叉項，因為它包含了 x 和 y 兩個元素。

韋格納分布中的交叉項
韋格納分布的定義如下：

W_x(t,f) = \int^{\infty}_{-\infty}x(t+\frac{\tau}{2})x^*(t-\frac{\tau}{2})e^{-j2\pi \tau f} \cdot d\tau

其中 x
代表原始訊號、t
是轉換後的時間軸座標、f
是轉換後的頻率軸座標。若我們設 x(t) = \alpha g(t) + \beta s(t)

，並將韋格納分布的公式展開如下：

\begin{align}
W_x(t,f) &= \int^{\infty}_{-\infty}x(t+\frac{\tau}{2})x^*(t-\frac{\tau}{2})e^{-j2\pi \tau f} \cdot d\tau \\
&= \int^{\infty}_{-\infty} \big[ \alpha g(t+\frac{\tau}{2}) + \beta s(t+\frac{\tau}{2}) \big] \big[ \alpha^ g^(t-\frac{\tau}{2}) + \beta^ s^(t-\frac{\tau}{2}) \big]e^{-j2\pi \tau f} \cdot d\tau \\
&= \int^{\infty}_{-\infty} \big[ |\alpha|^2 g(t+\frac{\tau}{2})g^(t-\frac{\tau}{2}) + |\beta|^2 s(t+\frac{\tau}{2})s^(t-\frac{\tau}{2}) \\ &\quad + \alpha \beta^ g(t+\frac{\tau}{2})s^(t-\frac{\tau}{2}) + \alpha^ \beta g^(t-\frac{\tau}{2})s(t+\frac{\tau}{2}) \big] e^{-j2\pi \tau f} \cdot d\tau \\
&= |\alpha|^2 W_g(t,f)+|\beta|^2W_s(t,f) \\ &\quad + \int^{\infty}_{-\infty} \big[ \alpha \beta^ g(t+\frac{\tau}{2})s^(t-\frac{\tau}{2}) + \alpha^ \beta g^(t-\frac{\tau}{2})s(t+\frac{\tau}{2}) \big] e^{-j2\pi \tau f} \cdot d\tau \\

\end{align}

其中 W_g
和 W_s
就是自身項，剩下的積分項就是交叉項。

參見

• Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2021.