模算數
模算數或稱同餘運算（）是一個整数的算术系統，其中數字超過一定值後（稱為模或餘數）後會「捲回」到較小的數值，模算數最早是出現在卡爾·弗里德里希·高斯在1801年出版的《算术研究》一書中。 模算數常見的應用是在十二小時制，將一天分為二個以十二小時計算的單位。假設現在七點，八小時後會是三點。用一般的算術加法，會得到，但在十二小時制中，超過十二小時會歸零，不存在「十五點」。類似的情形，若時鐘目前是十二時，二十一小時後會是九點，而不是三十三點。小…
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复底数进制
複底数进制是指底數為虛數或複數的进位制系統。 其中，底數為虛數的进位制系統最早由高德纳於1955年提出；底數為複數的进位制系統於1964年由所羅門·I·赫梅利尼克（Solomon I. Khmelnik）和1965年由沃爾特·F·彭尼（Walter F. Penney）提出。 概述 令D為整环\subset \C和|\cdot|為（阿基米德）绝对赋值。 數X\in D在进位制系統中可以表示為： : X = \pm \sum_{\nu}^…
主理想整环
在抽象代数中，主理想整环（，简称PID）是其中所有理想都是主理想（由一个元素生成的理想）的整环。一个更广泛的概念是主理想环，它指的是其中所有理想都是主理想的非零交换环，但一些作者（如布尔巴基）把主理想整环称为主理想环。主理想整环和主理想环的区别在于主理想环可以有零因子，而主理想整环不可以。 因此，在可除性上，主理想整环性质与整数类似：每一个主理想整环的元素都有唯一的质元素分解（因此算术基本定理的类似形式成立）；每一对主理想整环的元素都有…
布劳威尔-加当-华定理
抽象代數中，布勞威耳-加當-華定理是個有關除環的定理，以德國數學家理查德·布饒爾、法國數學家埃利·嘉當、以及中國數學家華羅庚命名。 給定兩個除環K\subseteq D使得對於所有D中非零的x都有xKx^{-1}\subseteq K（亦即，K的单位群是D的单位群的正规子群），則要么K被包含在D的中心，要么K=D。 参考资料
質元素
在數學裡，尤其是在抽象代數裡，交換環的質元素（prime element）是指滿足類似整數裡的質數或不可約多項式之性質的一個數學物件。須注意的是，質元素與不可約元素之間並不相同，雖然在唯一分解整環裡是一樣的，但在一般情況下則不一定相同。 定義 交換環 R 的元素 p 被稱為質元素，若該元素不為 0 或可逆元素，且若 p 整除 ab（a 與 b 為 R 內的元素），則 p 整除 a 或 p 整除 b。等價地說，一元素 p 為質元素，若且唯…
GCD環
GCD環是一種有特殊性質的整环R，滿足其中任二個非零的元素都有最大公因數（GCD），或者等價的，都有最小公倍數（LCM）。 GCD環是將唯一分解整環推廣到非諾特環的情況，事實上，一個整環是唯一分解整環若且惟若其為滿足的GCD環。 性質 GCD環中每個不可約元素都是質元素（不過GCD環中不一定要有不可約元素，其至GCD環可能不是一個域）。GCD環是 的，且其中每一個非零的元素都是。換句話說，每個GCD環都是。 針對GCD環R中的每一對元素…
不可約元素
不可約元素是抽象代數中的名詞，是指在整环中一個非零、非单位的元素，而且也無法表示為二個非單位元素的乘積。 不可約元素和質元素的關係 不可約元素和質元素不同，交换环R內的非零、非单位元素a為質元素，表示若在交換環R內存在b及c，使得a | bc，則a|b或a|c必定有一個成立。 在整环中，每一個質元素都是不可約元素，但一般而言，不可約元素不會是質元素。只有在唯一分解整環（或範圍更廣的GCD環）中的不可約元素才一定是質元素。 再者，一個用質…
主理想環
在數學中，主理想環是使得每個理想均可由單個元素生成的環。 如果一個主理想環同時也是整環，則稱之主理想整環（常簡寫為 PID）。 例子 整數環 \Z 是主理想域，更一般地說，歐幾里德環恆為主理想環。 域上的（单变元）多項式環是主理想環。 高斯整數環 \Z[\sqrt{-1}] 是主理想環。 艾森斯坦整數環 \Z[\omega] 是主理想環，其中 ω 為任一非 1 的三次單位根。 * 環 \Z[\sqrt{5}] 非主理想環：可以證明理想 …
环 (代数)
環（）是一種帶有兩個二元運算（抽象化的「加法」和「乘法」）、並且符合特定運算規則的集合。它包含且抽象化了諸如整數、有理數、實數、複數、多項式、矩陣、函數、算子等等的代數結構。环是環論的主要研究對象，並且是構成各種抽象代數理論的重要基本概念。 数环（number ring）是环的一個特定子类，其元素必须是「数」；若不特别指明，此数环的元素通常是代数整数。 環的具體定義並沒有完全統一。不同研究方向的學者對於環是否要有乘法單位元有不同見解，在…
無零因子環
在抽象代數中，無零因子環（domain）指的是一類不是的環，在其中若ab=0，則必有a=0或b=0，有時又稱這樣的環具有「」；等價地說，無零因子環就是一個在其中0是唯一的左零因子（或等價地，右零因子）的環。 例子和非例子 \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}不是無零因子環，而這是因為在這個環中的2跟3的像不是0，但其乘積是0；更一般地，對於任意的正整數n而言，\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}這類的環是無零因子環，當且…
布尔环
在数学中，布尔环（）R 是對所有 R 中的元素 x 都有 x^2 = x 的環，即 R 是由幂等元素组成的環。布爾環都對應一個布尔代数。 例子 布林環的一个例子是任何集合 X 的幂集 R = \mathcal{P}(X) 。在这个环中：加法單位元0是空集，乘法單位元1是全集，加法是对称差，乘法是交集。另一个例子我们考虑 X 的所有有限子集的集合，运算还是对称差和交集。更一般的说通过这些运算在任何集合域上的代數結構都是布尔环。通过Ston…
克利福德代数
數學上，克利福德代数（Clifford algebra）是由具有二次型的向量空間生成的單位結合代數。作為域上的代數，其推廣實數系、複數系、四元數系等超複數系，以及外代数。此代數結構得名自英國數學家威廉·金顿·克利福德。 研究克里福代数的理論有時也稱為克里福代數，其與二次型論和正交群理論緊密聯繫。其在几何、理論物理、數碼圖像處理中有很多应用。其主要贡献者有：威廉·哈密顿（四元数），赫尔曼·格拉斯曼（外代数），威廉·金顿·克利福德，等。 最…
近环
近环（near-ring）是抽象代数中环的概念的推广。在环的公理中，去掉加法的交换性，同时去掉左分配律或者右分配律，就形成近环。 定义： 集合S的元素在两个二元运算加法（+）和乘法（）下封闭，且满足如下条件： A1: 对加法（+）形成一个群（不要求加法满足交换律） A2: 乘法（）对于加法的右分配律成立。即对于集合S内的任意元素x，y，z ，满足 (x + y) z = (xz)+(yz). 则称代数系统（S，+，）为一个右近环（rig…
加法單位元
在數學裡，一個具有加法運算的集合中的加法單位元，是指不論它加上任何一個在此集合內的元素x都會等於x的元素。 基本例子 初等數學中所熟悉的加法單位元為0。 如： : 5 + 0 = 5 = 0 + 5。 在自然數\mathbb{N}和其所有的父集(整數\mathbb{Z}、有理數\mathbb{Q}、實數\mathbb{R}、複數\mathbb{C})內，其加法單位元皆為0。所以對於任何一個數n， : n + 0 = n = 0 + n。…
阿廷-韦德伯恩定理
在抽象代数学中，阿廷-韦德伯恩定理（）是半单环及半单代数的分类定理。该定理指出，任何半单的阿廷环都同构于有限个除环上的有限阶矩阵环的直积，且这些除环以及与之对应的矩阵的阶数在相差一个置换的意义下是唯一确定的。 历史 1908年，约瑟夫·韦德伯恩发表了题为《论超复数》（）的论文。该文中的定理23指出：任意一个单代数都可以表示成一个本原代数（即可除代数）和单矩阵代数的直积。利用现在的术语，该定理可以表述为：任何单代数都同构于某个除环上的有限…
歐幾里得整環
在抽象代數中，歐幾里得整環（）是一種能作輾轉相除法的整環。凡歐幾里得整環必為主理想環。 定義 一個歐幾里得整环是一整環 D 及函數 v: D \setminus \{0\} \to \N \cup \{0\}，使之滿足下述性質： 若 a, b \in D 而 b \neq 0，則存在 q, r \in D 使得 a = bq+r，而且 r=0，或者 v(r) 。 若 a 整除 b，則 v(a) \leq v(b)。 函數 v 可設想成元…
多项式环
在抽象代數中，多項式環推廣了初等數學中的多項式。一個環 R 上的多項式環是由係數在 R 中的多項式構成的環，其中的代數運算由多項式的乘法與加法定義。在範疇論的語言中，當 R 為交換環時，多項式環可以被刻劃為交換 R-代數範疇中的自由對象。 定義 多項式函數與多項式 在初等數學與微積分中，多項式視同多項式函數，兩者在一般的域或環上則有區別。舉例言之，考慮有限域 \mathbb{F}_2 := \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} …
可逆元
单位又被称为可逆元。在數學裡，於一(有单位的)環 R \,內的可逆元是指一 R \,的可逆元素，即一元素 u \,使得存在一於 R \,內的 v \,有下列性質： uv = vu = 1_R \,，其中 1_R \,是乘法單位元。 亦即， u \,是 R \,內乘法 幺半群}-的一可逆元素。 可逆元群 :主条目：单位群 R \,的可逆元組成了一於乘法下的群 U(R) \, ，稱做 R \,的可逆元群（或单位群）。可逆元群 U(R) \,…
唯一分解整環
在數學中，唯一分解整环（，縮寫：UFD）是一個整環，其中元素都可以表示成有限個不可約元素（或素元）之積，並且表示法在允許重排與相伴（associative）之下唯一，相當於滿足算術基本定理的整環。 定義 一個整環R被稱為唯一分解整环若且唯若R中的每個非零元素x皆可表示為一個可逆元素和若干個不可約元素（可以是0個）的乘積： : x = u p_1 p_2 \cdots p_n 其中u是一個可逆元素，p_1, \cdots ,p_n是不可約…
群環
在抽象代數中，群環是從一個群 G 及交換環 R 構造出的環，通常記為 R[G] 或 RG。其定義為： : R[G] := \bigoplus_{g \in G} R e_g \qquad （換言之，這是由基底 \{ e_g : g \in G\} 張出的自由 R-模） 其上的 R-線性乘法運算由 e_g \cdot e_h = e_{gh} 給出。R[G] 對 R-模的加法與上述乘法形成一個 R-代數。乘法單位元素為 1 := e_e。…