特征 (代数)
在数学中，環R的特征被定义为最小的正整数n使得對於所有R中的元素a，有 :n a = 0 这里的na被定义为 :a + ... + a，當中共有n个被加数。 如果不存在这样的n，R的特征被定义为0。R的特征经常用char(R)表示。 环R的特征可以等价的定义为唯一的自然数n使得nZ是映射1到1R的从Z到R的唯一的环同态的核。另一个等价的定义：R的特征是唯一的自然数n使得R包含同构于商环Z/nZ的子环。 整环的特征 当R是整环时，可证明特…
标签：#環論
共 32 篇文章
高斯整數
高斯整數是實數和虛數部分都是整數的複數。所有高斯整數組成了一個整域，寫作\mathbf{Z}[i]，是個不可以轉成有序環的欧几里得整环。 :\mathbf{Z}[i] = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Z} \} 高斯整數的范数都是非負整數，定義為 :N(zw) = N(z)N(w) \mathbf{Z}[i]單位元1, -1, i, -i的範數均為1。 高斯整環 高斯整数形成了一个唯一分解整环，其可逆…
諾特環
諾特環是抽象代數中一類滿足升鏈條件的環。希爾伯特首先在研究不變量理論時證明了多項式環的每個理想都是有限生成的，隨後埃米·諾特從中提煉出升鏈條件，諾特環由此命名。 定義 一個環A稱作諾特環，若且唯若對每個由A的理想構成的升鏈\mathfrak{a}_1 \subset \mathfrak{a}_2 \subset \ldots, \subset\mathfrak{a}_n \subset\ldots，必存在N \subset \mathb…
環的譜
在抽象代數學，交換代數和代數幾何學中，一個交換環A的譜是指其素理想全體形成的集合，記作\mathrm{Spec}(A)。它被賦予扎里斯基拓撲和結構層，從而成爲局部賦環空間。 一個局部賦環空間若同構於一個交換環譜，即稱爲仿射概形。 扎里斯基拓撲 對於交換環 A 裡的任一理想 \mathfrak{a}，置 V(\mathfrak{a}) := \{ \mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(A) : \mathfrak{…
素环
在抽象代數中，一個非零的環 R 稱作素环，若R满足以下条件中的一个（这几个条件是等价的）： ∀a, b，r∈ R，有arb = 0 ⇒ a = 0 或 b = 0。 ∀R上的雙邊理想P,Q，若PQ = (0) ⇒ P=(0) 或 Q=(0)。 質環同時推廣了整環與域上的矩陣環。 例子 整環。 單環。 整域上的矩陣環。 性質 含單位元的交換環是質環的充要條件是它是整環。 一個環是質環若且唯若 (0) 是質理想}-。 一個非零環是質環若且唯…
阿廷環
阿廷環是抽象代數中一類滿足降鏈條件的環，以其開創者埃米爾·阿廷命名。 定義 一個環A稱作阿廷環，若且唯若對每個由A的理想構成的降鏈\mathfrak{a}_1 \supset \mathfrak{a}_2 \supset \ldots, \supset\mathfrak{a}_n \supset\ldots，必存在N \subset \mathbb{N}，使得對所有的n,m \geq N都有\mathfrak{a}_n = \mathf…
正則局部環
在交換代數中，正則局部環是使得其極大理想的最小生成元個數等於其Krull維度的局部諾特環。 定義 設 (A,\mathfrak{m}) 為局部諾特環。設 a_1, \ldots, a_n 為 \mathfrak{m} 的一組最小生成元，一般而言有 n \geq \dim A。當 n = \dim A 時，稱 A 為正則局部環。 根據中山正引理，局部諾特環 (A,\mathfrak{m}) 為正則局部環若且唯若 \dim_{A/\math…
局部環
在數學中，局部環是只有一個極大理想的交換環。 局部環的概念由 Wolfgang Krull 於1938年引入，稱之為 Stellenringe，英譯 local ring 源自扎裡斯基。 定義 設 R 為交換含-{zh-hans:幺;zh-hk:幺;zh-tw:幺;}-環。若 R 僅有一個極大理想 \mathfrak{m}，則稱 R（或 (R,\mathfrak{m})）為局部環。域 R/\mathfrak{m} 稱為 R 的剩餘域。 …
賦值環
在抽象代數中，賦值環是一個域裡的一類特別子環，可由域上的某個賦值定義。離散賦值環是其中較容易操作的一類。 定義 賦值環是一个整环D，滿足其分式域 F的任一非零元素x，至少有x 或 x −1 ∈ D. 一個域 F 的子環 R 被稱作賦值環，若且唯若對每個 x \in F^ ，必有 x \in R 或 x^{-1} \in R 。R被稱作其分式域 F賦值環或被稱作在其分式域 F的素点（位） 若 R 是主理想域，此時 R 被稱為離散賦值環。 …
有限环
在数学，特别是抽象代数，有限环（Finite ring）是一个环（不一定有乘法的单位元）元素的数量有限的环。每一个有限域是有限环的一个特例，每一个有限环的加法群，是一个有限阿贝尔群，有限环的概念是比较新的。 1964年在《美国数学月刊》上，大衛·辛馬斯特（David Singmaster）提出了以下问题：「（1）不是域的非平凡有单位元环有何种结构，已经找出两个这种四阶环，还有不同的四阶环吗？（2）四阶环有多少？」 一个解决方案由D.M.…
子環
設(R,+,·)為环，若S是R的一個非空子集，且(S,+,·)也是環，則稱(S,+,·)為(R,+,·)的子環（subring）。 判定 設(R,+,·)為环，S是R的一個非空子集。(S,+,·)是(R,+,·)的子環，當且僅當： #R的零元素也在S裡 #∀a,b∈S, a+b∈S #∀a∈S, -a∈S #∀a,b∈S, ab∈S 或等價地： #∀a,b∈S, a-b∈S #∀a,b∈S, ab∈S 也就是說： #S和+構成一個群 #…
分式環
在抽象代數中，分式環或分式域是包含一個整環的最小域，典型的例子是有理數域之於整數環。此外分式環也可以推廣到一般的交換環，此時通常稱作全分式環。 分式環有時也被稱為商域，但此用語易與商環混淆。 構造 分式環是局部化的一個簡單特例。以下設 R 為一個整環，而 S := R - \{0\}。 在集合 R \times S 上定義下述等價關係 \sim： : (r,s) \sim (r',s') \iff rs' - r's = 0 等價類 […