賦值環

在抽象代數中，賦值環是一個域裡的一類特別子環，可由域上的某個賦值定義。離散賦值環是其中較容易操作的一類。
定義
賦值環是一个整环D，滿足其分式域 F的任一非零元素x，至少有x 或 x −1 ∈ D.
一個域 F 的子環 R 被稱作賦值環，若且唯若對每個 x \in F^ ，必有 x \in R 或 x^{-1} \in R 。R被稱作其分式域 F賦值環或被稱作在其分式域 F*的素点（位）

若 R 是主理想域，此時 R 被稱為離散賦值環。

性質

• 令\mathcal{M} := F - R^* ，則 \mathcal{M} 是 F 中唯一的極大理想。
• 承上，k := R/\mathcal{M} 被稱作 R 的剩餘域。

範例
*任何域都是賦值环。

• Z(p)是賦值环, ，整数环在素理想局部化，其中分子，分母是不能被p整除的任何整数组成，。分式域为有理数域Q

*复平面上的亚纯函数的麦克劳林级数（泰勒级数展开为零）环是一个賦值环。分式域是整个复平面上的亚纯函数。如果f不有麦克劳林系列的1 / f确实。
任何一个给定的素数p p进整数环Zp 是局部环（p进数的分式域Qp域），p进整数环Zp 代数闭域Zpcl也是一个局部环， Zp 和 Zp*cl都是賦值环。
设k是一个有序的领域。 k的元素被称为有限的，如果它在于两个整数N R_x := \{f \in \mathbb{C}(X) : f(x) \neq \infty \}，則 R_x 構成一賦值環。

• 設 F 為域，則 FX 是 F((X)) 中的賦值環。
• \mathbb{Z}_p 為 \mathbb{Q}_p 中的賦值環。
• 設(\Gamma, >) 為一有序交換群，K 為域，v: K^ \rightarrow \Gamma 為一賦值，則 R_v := \{ r \in R : v(r) \geq 0\} 為一賦值環，此時v(K^)被稱作其值群。可以證明所有的賦值環都由此而來。

文獻

• Nicolas Bourbaki, Algèbre commutative, Chapitre 5, 6: entiers ; valuations (1964), Eléments de mathématique, P. A. Hermann.

Anneau à valuation discrète