分式環

在抽象代數中，分式環或分式域是包含一個整環的最小域，典型的例子是有理數域之於整數環。此外分式環也可以推廣到一般的交換環，此時通常稱作全分式環。

分式環有時也被稱為商域，但此用語易與商環混淆。

構造
分式環是局部化的一個簡單特例。以下設 R 為一個整環，而 S := R - \{0\}。

在集合 R \times S 上定義下述等價關係 \sim：
: (r,s) \sim (r',s') \iff rs' - r's = 0

等價類 [r,s] 可以想成「分式」 r/s，上述等價關係無非是推廣有理數的通分；藉此類比，在商集 (R \times S)/\sim 上定義加法與乘法為：
: [r,s] + [r',s'] = [rs'+r's, ss']
: [r,s] [r',s'] = [rr',ss']

可驗證上述運算是明確定義的。此外還有環同態 R \rightarrow (R \times S)/\sim，定義為 r \mapsto [r,1]；這是一個單射。於是可定義分式環 T(R) := (R \times S)/\sim，再配上上述的加法與乘法運算。在實踐上，我們常逕將 T(R) 裡的元素寫作分式 r/s。

泛性質
整環 R 的分式環 K(R) 及其自然環同態 R \rightarrow K(R) 滿足以下的泛性質：

: 對任何環 T 及環同態 \phi: R \rightarrow T，若 R-\{0\} 中的元素在 \phi 下的像皆可逆，則存在唯一的環同態 \psi: K(R) \rightarrow T，使得 \phi 是 R \rightarrow K(R) 與 \psi 的合成。

此性質不外是形式地表達了「K(R) 是包含 R 的最小的域」這個陳述。據此泛性質可形式地證明：任何一組資料 (K, \phi: R \rightarrow T) 若使得 K-\{0\} 中的元素在 \phi 下的像皆可逆，且滿足上述泛性質，則 K 必與 T(R) 同構。

例子

• 有理數域 \mathbb{Q} 是整數環 \mathbb{Z} 的分式環。
• 有理函數域是多項式環的分式環
• 代數數域是代數整數環的分式環。
• 在一個連通複流形上，亞純函數域是全純函數環的分式環。

推廣
對於一般的交換環 R（容許有零因子），分式環是一種退而求其次的建構：我們想找使 R \rightarrow S^{-1}R 為單射的「最大」局部化，詳述如下：

設 S 為 R 中的非零因子所成子集，它是個積性子集，因此可對之作局部化。令 T(R) := S^{-1}R，此時 T(R) 常被稱作 R 的全分式環。