单位又被称为可逆元。在數學裡，於一(有单位的)環 R \,內的可逆元是指一 R \,的可逆元素，即一元素 u \,使得存在一於 R \,內的 v \,有下列性質：
uv = vu = 1_R \,，其中 1_R \,是乘法單位元。
亦即， u \,是 R \,內乘法 幺半群}-的一可逆元素。
可逆元群
:主条目：单位群
R \,的可逆元組成了一於乘法下的群 U(R) \, ，稱做 R \,的可逆元群（或单位群）。可逆元群 U(R) \, 有時亦被標記成 R^* 或R^\times。
在一可交換單作環 R \, 內，可逆元群 U(R) \, 以乘法作用於 R \,上頭。此一作用的軌道(orbit)被稱為結合集合；換句話說，存在一於R上的等價關係 ~ ，且當r\sim s時，表示存在一可逆元 u 使得 r=us。
U 是一由環範疇至群範疇的函子：每一個環同態 f: R \rightarrow S 都可導出一群同態 U(f): U(R) \rightarrow U(S)，當 f 會將可逆元映射至可逆元時。此一函數子有為整數群環結構的左伴隨。
一個環 R \, 是一個除環若且唯若R^* = R \backslash \{0\}。
例子
- 在整數環\mathbb{Z}裡，可逆元為±1。其每一軌道內都有兩個元素n和−n。
- 任一單位根均是某一單作環R內的可逆元。（若r是一單位根，且r^n = 1，則r^{-1} = r^{n-1}亦為R的元素）。
- 在代數數論裡，狄利克雷单位定理證明了許多代數整數環內可逆元的存在域。例如，在環\mathbb{Z}(\sqrt{5})，(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2) = 1，因此 (\sqrt{5} + 2),(\sqrt{5} - 2),1都是可逆元。
- 在環M(n,F)，於一體F上的n \times n矩陣內，其可逆元恰好就是可逆矩陣。
评论 (0)