在抽象代數中，多項式環推廣了初等數學中的多項式。一個環 R 上的多項式環是由係數在 R 中的多項式構成的環，其中的代數運算由多項式的乘法與加法定義。在範疇論的語言中，當 R 為交換環時，多項式環可以被刻劃為交換 R-代數範疇中的自由對象。
定義
多項式函數與多項式
在初等數學與微積分中，多項式視同多項式函數，兩者在一般的域或環上則有區別。舉例言之，考慮有限域 \mathbb{F}_2 := \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} 上的多項式
P(X) = X^2 + X
此多項式代任何值皆零，故給出零函數，但其形式表法非零。
我們寧願將多項式看作形式的符號組合，以得到較便利的代數理論。且考慮多項式在域擴張之下的性質：就函數觀點，多項式函數在域擴張下的行為頗複雜，上述 P(X) 給出 \mathbb{F}_2 上的零函數，但視為 \mathbb{F}_4 上的多項式函數則非零；而就形式觀點，只須將係數嵌入擴張域即可。
形式定義
於是我們採取下述定義：令 R 為環。一個單變元 X 的多項式 P(X) 定義為下述形式化的表法：
P(X) = a_m X^m + a_{m - 1} X^{m - 1} + \cdots + a_1 X + a_0
其中 a_i 屬於 R，稱作 X^i 的係數，而 X 視作一個形式符號。兩多項式相等若且唯若每個 X^i 的係數均相同。次數最大的非零係數稱為該多項式的領導係數，或者首項係數。
更嚴謹的說法或許是將多項式定義為係數的序列 a = (a_n)_{n \geq 0}，使得其中僅有有限項非零。但是我們在實踐上總是用變元 X 及其冪次表達。
多項式的運算
以下固定環 R，我們將推廣初等數學中熟悉的多項式運算。
環結構
多項式的加法由係數逐項相加定義，而乘法則由下列法則唯一地確定：
- 分配律：對所有 R 上的多項式 P(X),Q(X),R(X)，恆有
: (P(X) + Q(X)) \cdot R(X) = P(X)R(X) + Q(X)R(X)
: R(X) \cdot (P(X)+Q(X))=R(X)P(X)+R(X)Q(X)
- 對所有 a \in R，有 X \, a = a\,X
- 對所有非負整數 k, l，有 X^k \cdot X^l = X^{k+l}
運算的具體表法如下：
- \sum_{i=0}^na_iX^i+ \sum_{i=0}^n b_iX^i=\sum_{i=0}^n(a_i+b_i)X^i
- \left(\sum_{i=0}^n a_iX^i\right)\left(\sum_{j=0}^m b_jX^j\right)=\sum_{k=0}^{m+n}\left(\sum_{\mu +\nu =k}a_{\mu} b_{\nu}\right)X^k
當 R 是交換環時，R[X] 是個 R 上的代數。
多項式的合成
設 P(X) = \sum a_i X^i 而 Q(X) 為另一多項式，則可定義兩者的合成為
: (P \circ Q)(X) := \sum_i a_i Q(X)^i
求值
對於任一多項式 P(X) = \sum a_i X^i 及 r \in R，我們可考慮 P(X) 對 r 的求值：
: s_r(P) := \sum_i a_i r^i
固定 r \in R，則得到一個環同態 s_r : R[X] \rightarrow R，稱作求值同態；此外它還滿足
: s_r(P \circ Q) = s_{s_r(Q)}(P)
導數
在微積分中，多項式的微分由微分法則 (x^k)' = kx^{k-1} 確定。雖然一般的環上既無拓撲結構更無完備性，我們仍然可形式地定義多項式的導數為：
: P(X) = \sum_{i=0}^n a_i X^i
: \Rightarrow P(X)' := \sum_{i=0}^n i a_i X^{i-1}
這種導數依然滿足 (PQ)' = P'Q + PQ' 與 (P+Q)' = P' + Q' 等性質。對於係數在域上的多項式，導數也可以判定重根存在與否。
多變元的情形
上述定義可以推廣到任意個變元（包括無限個變元）的情形。對於有限變元的多項式環 R[X_1, \ldots, X_n]，也可以採下述構造：
先考慮兩個變元 X, Y 的例子，我們可以先構造多項式環 R[X]，其次構造 (R[X])[Y]。可以證明有自然同構 (R[X])[Y] \cong R[X,Y]，例如多項式
:P(X, Y)=X^2Y^2+4XY^2+5X^3-8Y^2+6XY-2Y+7 \in R[X,Y]
也可以視作
:(X^2+4X-8)Y^2+(6X-2)Y+(5X^3+7) \in (R[X])[Y]
對 (R[Y])[X]亦同。超過兩個變元的情形可依此類推。
性質
- 若 R 是域，則 R[X] 是主理想環（事實上還是個欧几里得整环）。
- 若 R 是唯一分解環，則 R[X] 亦然。
- 若 R 是整環，則 R[X] 亦然。
- 若 R 是諾特環，則 R[X] 亦然；這是希爾伯特基底定理的內容。
- 任一個交換環 R 上的有限生成代數皆可表成某個 R[X_1, \ldots, X_n] 的商環。
在數學中的角色
多項式環對理想的商是構造環的重要技術。例子包括從同餘系 \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}構造有限域，或從實數構造複數等等。
弗羅貝尼烏斯多項式是另一個跟多項式環相關的環，此環的乘法係採用多項式的合成而非乘法。
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