加法單位元

在數學裡，一個具有加法運算的集合中的加法單位元，是指不論它加上任何一個在此集合內的元素x都會等於x的元素。

基本例子

如：

: 5 + 0 = 5 = 0 + 5。

在自然數\mathbb{N}和其所有的父集(整數\mathbb{Z}、有理數\mathbb{Q}、實數\mathbb{R}、複數\mathbb{C})內，其加法單位元皆為0。所以對於任何一個數n，

: n + 0 = n = 0 + n。

形式定義
令N是一個在加法運算下封閉的集合。N的加法單位元即為任一個能使所有在N內的元素n有下列公式的元素e：

: e + n = n = n + e。

更多例子

一個環或一個體也會是一個在加法運算下的群，因此它們也會有一個唯一的加法單位元0。它被定義必須和乘法單位元1不同，若環（或體）有兩個以上的元素時。如果加法單位元和乘法單位元是同一個的話，這個環則會是當然的(見下面證明)。

在一個於群G上的m乘n階矩陣所組成的群M_{m\times n}(G)裡，其加法單位元標記為0，且會是個其元素都是在G內的單位元0的m乘n矩陣。例如，在一個於整數上的2階方陣M_2(\mathbb{Z})裡，其加法單位元為

:0 = \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}.

證明
加法單位元在一個群裡是唯一的
令(G,+)是一個群，且設0和0'是在G內的兩個加法單位元，則對於所有在G內的g而言，

: 0 + g = g = g + 0 且0' + g = g = g + 0'。

由上可得

: (0') = (0') + 0 = 0' + (0) = (0)

故可證明 0 = 0'。

加法和乘法單位元在一個非平凡環裡是不同的
令R是一個環，且假設加法單位元0和乘法單位元1會相等，即0=1。設r為於R內的任一元素，則

: r = r \times 1 = r \times 0 = 0

其表示R必須是平凡的，亦即R=\{0\}。再依照換質位法，即可得出若R不是平凡的，則0不會等於1的結論。

另見

外部連結
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參考文獻
David S. Dummit, Richard M. Foote, Abstract Algebra*, Wiley (3d ed.): 2003, ISBN 0-471-43334-9.