歐幾里得整環

在抽象代數中，歐幾里得整環（）是一種能作輾轉相除法的整環。凡歐幾里得整環必為主理想環。

定義
一個歐幾里得整环是一整環 D 及函數 v: D \setminus \{0\} \to \N \cup \{0\}，使之滿足下述性質：

• 若 a, b \in D 而 b \neq 0，則存在 q, r \in D 使得 a = bq+r，而且 r=0，或者 v(r) 。
• 若 a 整除 b，則 v(a) \leq v(b)。

函數 v 可設想成元素大小的量度，當 D=\Z 時可取 v(x) := |x|。

例子
歐幾理得整環的例子包括了：

• 整數環 \Z，v(x)=|x|。
• 高斯整數環 \Z[\sqrt{-1}]。
• 域上的多項式環（v(f) = \deg f）與冪級數環（v(f) 定義為使 X^n|f(X) 的最大非負整數 n）。
• 離散賦值環，v(x) 定義為使 x \in \mathfrak{m}^n 的最大非負整數 n，其中 \mathfrak{m} 表該離散賦值環的唯一極大理想。

利用輾轉相除法（定義中的第一條性質），可以證明歐幾里得環必為主理想环，此時理想由其中 v-值最小的元素生成。由此得到一個推論：歐幾里得整環必為唯一分解環。

並非所有主理想環都是歐幾里得整環，Motzkin 證明了 \mathbb{Q}[\sqrt{d}] 的整數環在 d=-19,-43,-67,-163 時並非歐幾里得整環，卻仍是主理想環。這方面的進一步結果詳見以下文獻。

文獻

• Motzkin. The Euclidean algorithm, Bull. Amer. Math. Soc. 55, (1949) pp. 1142--1146
• Weinberger. On Euclidean rings of algebraic integers in "Analytic number theory", Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXIV, St. Louis Univ., St. Louis, MO (1972) published by Amer. Math. Soc. (1973) pp. 321--332
• Harper and Murty, Canad. J. Math. Vol. 56 (1) (2004) pp. 71--76