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环 (代数)

Wikipedia · 2026-05-23 维基百科 👁 0 阅读

環（）是一種帶有兩個二元運算（抽象化的「加法」和「乘法」）、並且符合特定運算規則的集合。它包含且抽象化了諸如整數、有理數、實數、複數、多項式、矩陣、函數、算子等等的代數結構。环是環論的主要研究對象，並且是構成各種抽象代數理論的重要基本概念。

数环（number ring）是环的一個特定子类，其元素必须是「数」；若不特别指明，此数环的元素通常是代数整数。

環的具體定義並沒有完全統一。不同研究方向的學者對於環是否要有乘法單位元有不同見解，在部份情況下甚至不要求乘法有結合律。然而除非明確聲明，否則本條目所稱的「環」是指有乘法單位元、乘法有結合律的環。關於乘法無單位元的環，請見偽環一文。

定義
給定一個集合 R 以及兩個定義在 R 上的二元運算 + 和 \times 。如果 R 、 + 和 \times 具有以下八個性質，則稱 (R,+,\times) 構成了一個環。

(R,+) 是一個交換群：

#* 加法有結合律——對所有的 a, b, c \in R ，都有：(a + b) + c = a + (b + c)
#* 加法有交換律——對所有的 a, b \in R ，都有：a + b = b + a
#* 有加法單位元——存在某個 0_{R} \in R ，使得所有的 r \in R ，都有： 0_{R} + r = r
#* 有加法反元素——對所有的 r \in R ，存在某個 -r \in R ，使得： -r + r = 0_{R}

(R,\times) 是一個有單位元的半群：

#* 乘法有結合律——對所有的 a,\,b,\,c \in R ，都有： (a \times b) \times c = a \times (b \times c)
#* 有乘法單位元——存在某個 1_{R} \in R ，使得所有的 r \in R ，都有：1_{R} \times r = r \times 1_{R} = r

乘法對於加法滿足分配律：

#* （左）分配律——對所有的 a,\,b,\,c \in R ，都有：a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)
#* （右）分配律——對所有的 a,\,b,\,c \in R ，都有：(a + b) \times c = (a \times c) + (b \times c)
環的乘法經常依照慣例，不會寫出「 \times 」這個符號。例如（左）分配律就可以寫成：a (b + c) = ab + ac此外，加法單位元也經常稱為「零元素」或直接簡稱為「零」。

定義的分歧
環的定義的分歧通常在於是否要求乘法單位元的存在。在 1960 年代以前，多數抽象代數的教科書通常會採用埃米·諾特的定義，不要求乘法單位元存在。然而在1960年後，越來越多的著名教科書作者（例如：尼古拉·布爾巴基、、塞爾日·蘭）開始將乘法單位元的存在性納入定義中。不要求乘法單位元存在的作者，通常會將有乘法單位元的環稱為單位環（{{lang|en|unital ring）；反之，要求乘法單位元存在的作者，可能會將不含乘法單位元（identity）的環（ring）稱為 rng 或偽環（pseudo-ring），或甚至乾脆不提及任何沒有單位元的環。

另外在交換代數的文獻中，通常還會額外約定環的乘法要滿足交換律。這類文獻的作者通常會事先聲明。

例子

  • 整數\mathbb{Z}、有理數\mathbb{Q}、實數\mathbb{R}和複數\mathbb{C}，連同尋常的加法和乘法，構成了一個環。它們的加法單位元是0，乘法單位元是1，是最典型的實際例子。
  • 整係數多項式環\mathbb{Z}[x]、有理係數多項式環\mathbb{Q}[x]，實係數多項式環\mathbb{R}[x]、複係數多項式環\mathbb{C}[x]，連同多項式加法和乘法，構成一個環。它們的加法單位元也是0，乘法單位元也是1。更一般地，可以考慮任何環R的多項式環R[x] 。
  • 整係數有理函數\mathbb{Z}(x)、有理係數有理函數\mathbb{Q}(x)，實係數有理函數\mathbb{R}(x)、複係數有理函數\mathbb{C}(x)，連同有理函數的加法和乘法，構成一個環。它們的加法單位元依然是0，乘法單位元依然是1。更一般地，可以考慮任何環R的有理函數環R(x)；而「建構分式」的操作還是「分式體」以及更一般的「局部化」這些概念的起源。
  • 大小為n \times n的整係數矩陣\mathbf{M}_{n}(\mathbb{Z})、有理係數矩陣\mathbf{M}_{n}(\mathbb{Q})、實係數矩陣\mathbf{M}_{n}(\mathbb{R}) 、或複係數矩陣\mathbf{M}_{n}(\mathbb{C})，連同矩陣加法和矩陣乘法，構成一個環。它們的加法單位元是零矩陣：\mathbf{0}_{n} :=

\begin{bmatrix}
0 & 0 & \dots & 0 \\
0 & 0 & \dots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \dots & 0 \\
\end{bmatrix}_{n \times n}乘法單位元則是單位矩陣 ：\mathrm{I}_{n} :=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & \dots & 0 \\
0 & 1 & \dots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \dots & 1 \\
\end{bmatrix}_{n \times n}同樣的，可以考慮任何環R的矩陣環\mathbf{M}_{n}(R)。矩陣環也是典型的非交換環。

  • 如果集合 R 只有一個元素，那 R 只可能定義出唯一的一種環結構——**'（Zero ring）。

基本性質

  • 零元素是唯一的
  • 零乘以任何東西都是零
  • 乘法單位元是唯一的
  • 任何元素如果有乘法反元素，那是唯一的
  • 多個環元素的分配律：\left(\sum_{i = 1}^{n}a_i\right)\left(\sum_{j = 1}^{m}b_j\right) = \sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{m}a_ib_j
  • 環元素的整數倍與整數次方——整數可以用來當作是任何環的係數，只要定義以下的係數運算規則：na := \underbrace{a + a + \cdots a}_{n \text{ 次}} \qquad (-n)a := \underbrace{(-a) + (-a) + \cdots (-a)}_{n \text{ 次}} \qquad 0a := 0_R這種係數運算規則和普通係數的概念有許多一致性，例如：

** n(ab) = (na)b = a(nb)
** (nm)a = n(ma) = m(na)
** n(a+b) = na + nb
** (n+m)a = na + ma
: 而類似地如果把多次相加改成多次相乘，那麼可以定義冪運算：a^n := \underbrace{a \times a \times \cdots a}_{n \text{ 次}} \qquad a^{-n} := \underbrace{a^{-1} \times a^{-1} \times \cdots a^{-1}}_{n \text{ 次}} \qquad a^{0} := 1_R

  • 二項式展開——如果 ab = ba ，那麼它們總和的次方可以這樣計算：(a + b)^n = a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \binom{n}{2}a^{n-2}b^{2} + \cdots + \binom{n}{n-2}a^{2}b^{n-2} + \binom{n}{n-1}ab^{n-1} + b^n = \sum_{i+j = n}\frac{n!}{(i!)(j!)}a^ib^j這可以推廣到多個元素 a_1,a_2,\dots,a_m 總和的次方——如果任兩個元素的 a_i 和 a_j 的乘法都可以交換（即 a_ia_j = a_ja_i ），那麼：(a_1 + a_2 + \cdots + a_m)^n = \sum_{i_1 + i_2 + \cdots + i_m = n}\frac{n!}{(i_1!)(i_2!)\cdots(i_n!)}a_{1}^{i_1}a_{2}^{i_2} \cdots a_{m}^{i_m}

基本的相關概念
特殊的環元素
在初等環論中，以下四類型的環元素在任意的環中都有定義，它們是經常被討論的對象：

  • 可逆元（ Unit 或 Invertible element ）：有乘法反元素的環元素。
  • 零因子（ Zero divisor ）：相乘後為零的非零元素；相當於「零的因數」。
  • 冪零元（ Nilpotent ）：自乘多次後變成零的環元素。
  • 冪等元（ Idempotent ）：自乘任意多次都不變的環元素。

環同態、核、像
在環論中，環同態描述了環與環之間的關係。一個從環 R 送往環 S 的環同態（ Ring homomorphism ）f : R \to S 簡單來說是一種「維持環結構」的映射；而具體來說，f 要具有以下三個性質：

  • 維持加法的結構——對所有的 a, b \in R ，都有：f(a+b) = f(a)+f(b)
  • 維持乘法的結構——對所有的 a, b \in R ，都有：f(ab) = f(a)(b)
  • 維持單位元的結構——也就是：f(1_{R}) = 1_{S}

對一個環同態 f 來說，有以下兩個密切相關的概念：

  • 核（ Kernel ）——送到零元素的那些元素：\mathrm{Ker}(f) := f^{-1}(0_{S}) = \{ a \in R \mid f(a) = 0_{S} \} \subseteq R
  • 像（ Image ）——把元素都送過去後的結果：\mathrm{Im}(f) := f(R) = \{ f(a) \in S \mid a \in R \} \subseteq S

子環、（雙邊）理想、商環
給定一個環 R ，我們可以考慮它的：

  • 子環（ Subring ）——某個送往 R 的環同態在R 內的像。
  • 雙邊理想（ Two side ideal ）——某個定義在R 上的環同態的核。
  • 商環（ Quotient ）——（同構意義下）某個定義在R 上的環同態的像。

一個環的環同態、子環、雙邊理想、商環共同刻劃了環的結構。

具有額外性質的環
交換環（ commutative ring ）
如果一個環 R 還額外滿足：
:乘法的交換律：對於所有 a, b \in R：
:a \times b = b \times a
則稱 R 是一個交換環。交換環是最被深入研究的一類環，其中包括以下幾類：

  • 整環（ Integral domain ）：沒有零因子的交換環。
  • 唯一分解整環（ Unique factorization domain ）：可以唯一分解任何元素的整環。
  • 主理想整環（ Principal ideal domain ）：所有理想都是主理想的整環。
  • 歐幾里得整環（ Euclidean domain ）：可以進行歐幾里得演算法（輾轉相除法）的整環。
  • 體（ Field ）：非零元素都有乘法反元素的交換環。
  • 代數閉體（ Algebraically closed field ）：所有多項式都有根的體。

非交換環
所謂的非交換環實際上是指「不假設是交換環」的環，這樣子的環有：

  • 除環（ Division ring ）：非零元素都有乘法反元素的環（可能不交換）。
  • 單環（ Simple ring ）：沒有非平凡雙邊理想的環。

從已知的環建構出其他環的方式
直積
給定數個環 R_1, R_2, \dots, R_n ，可以考慮這些環作為集合的笛卡爾積：

\prod_{i = 1}^{n} R_i := R_1 \times R_2 \times \cdots \times R_n = \{ (a_1,a_2,\dots,a_n) \mid a_1 \in R_1, a_2 \in R_2 ,\dots, a_n \in R_n \}可以在這個集合上用以下方式定義加法和乘法：

(a_1,a_2,\dots,a_n) + (b_1,b_2,\dots,b_n) := (a_1 + b_1,a_2 + b_2, \dots,a_n + b_n) (a_1,a_2,\dots,a_n) \times (b_1,b_2,\dots,b_n) := (a_1 \times b_1,a_2 \times b_2, \dots,a_n \times b_n)這使得 \prod_{i = 1}^{n} R_i構成一個環。稱為 R_1, R_2, \dots, R_n 的直積（ Direct product ）；它的加法單位元是 (0_{R_1},0_{R_2},\dots,0_{R_n}) 乘法單位元是 (1_{R_1},1_{R_2},\dots,1_{R_n})

這種概念可以推廣到無限多個環、甚至不可數多個環的直積。

多項式環
給定一個環 R ，可以考慮以這個環作為係數的多項式：R[x] := \left\{ \sum_{i=0}^{n}a_ix^i ~\Bigg|~ a_i \in R, n = 1,2,3,\dots \right\}可以仿照一般的實係數多項式運算規則，為這個集合定義加法和乘法：\left( \sum_{i=0}^{n}a_ix^i \right) + \left( \sum_{i=0}^{n}b_ix^i \right) := \sum_{i=0}^{n}(a_i + b_i)x^i\left( \sum_{i=0}^{n}a_ix^i \right) \times \left( \sum_{i=0}^{m}b_ix^i \right) := \sum_{i=0}^{n+m}\left( \sum_{j=0}^{i}a_jb_{i-j} \right)x^i在這樣的運算規則下， R[x] 被稱為是 R 的多項式環；它的加法單位元以及乘法單位元與 R 相同。

矩陣環
給定一個環 R ，可以考慮以這個環作為係數、大小為 n \times n 的矩陣：

\mathbf{M}_{n}(R) := \left\{
\begin{bmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1,n} \\
a_{2,1} & a_{2,2} & \dots & a_{2,n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n,1} & a_{n,2} & \dots & a_{n,n} \\
\end{bmatrix}_{n \times n} ~\bigg|~ a_{i,j} \in R, \quad i,j = 1,2,\dots,n\right\} 同樣可以仿照一般的矩陣運算規則，為這個集合定義加法和乘法：

\begin{bmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1,n} \\
a_{2,1} & a_{2,2} & \dots & a_{2,n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n,1} & a_{n,2} & \dots & a_{n,n} \\
\end{bmatrix}_{n \times n}
+
\begin{bmatrix}
b_{1,1} & b_{1,2} & \dots & b_{1,n} \\
b_{2,1} & b_{2,2} & \dots & b_{2,n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
b_{n,1} & b_{n,2} & \dots & b_{n,n} \\
\end{bmatrix}_{n \times n}
:=
\begin{bmatrix}
a_{1,1} + b_{1,1} & a_{1,2} + b_{1,2} & \dots & a_{1,n} + b_{1,n} \\
a_{2,1} + b_{2,1} & a_{2,2} + b_{2,2} & \dots & a_{2,n} + b_{2,n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n,1} + b_{n,1} & a_{n,2} + b_{n,2} & \dots & a_{n,n} + b_{n,n} \\
\end{bmatrix}_{n \times n} \begin{bmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1,n} \\
a_{2,1} & a_{2,2} & \dots & a_{2,n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n,1} & a_{n,2} & \dots & a_{n,n} \\
\end{bmatrix}_{n \times n}
\times
\begin{bmatrix}
b_{1,1} & b_{1,2} & \dots & b_{1,n} \\
b_{2,1} & b_{2,2} & \dots & b_{2,n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
b_{n,1} & b_{n,2} & \dots & b_{n,n} \\
\end{bmatrix}_{n \times n}
:=
\begin{bmatrix}
\sum_{i=1}^{n}a_{1,i}b_{i,1} & \sum_{i=1}^{n}a_{1,i}b_{i,2} & \dots & \sum_{i=1}^{n}a_{1,i}b_{i,n} \\
\sum_{i=1}^{n}a_{2,i}b_{i,1} & \sum_{i=1}^{n}a_{2,i}b_{i,2} & \dots & \sum_{i=1}^{n}a_{2,i}b_{i,n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\sum_{i=1}^{n}a_{n,i}b_{i,1} & \sum_{i=1}^{n}a_{n,i}b_{i,2} & \dots & \sum_{i=1}^{n}a_{n,i}b_{i,n} \\
\end{bmatrix}_{n \times n} 那麼 \mathbf{M}_{n}(R) 在這樣的運算規則下，構成一個環。它的加法單位元是零矩陣 ：\mathbf{0}_{n} :=
\begin{bmatrix}
0_{R} & 0_{R} & \dots & 0_{R} \\
0_{R} & 0_{R} & \dots & 0_{R}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0_{R} & 0_{R} & \dots & 0_{R} \\
\end{bmatrix}_{n \times n}乘法單位元則是單位矩陣 ：\mathrm{I}_{n} :=
\begin{bmatrix}
1_{R} & 0_{R} & \dots & 0_{R} \\
0_{R} & 1_{R} & \dots & 0_{R} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0_{R} & 0_{R} & \dots & 1_{R} \\
\end{bmatrix}_{n \times n}同樣的，可以考慮任何環 R 的矩陣環 \mathbf{M}_{n}(R) 。矩陣環也是典型的非交換環。

局部化與分式體
局部化的概念並不是對任何的環都有效，在大多數時候，只會考慮交換環的局部化。粗略地說，局部化是「加入某些元素的乘法反元素」；而分式體則是透過「加入所有非零元素的乘法反元素」來定義。分式體最著名的例子就是從整數構造有理數的過程。

更抽象地講，一個環對某些元素的局部化是「使得這些元素可逆的、最小的環」；在這種意義下，分式體就是「使得非零元素可逆的、最小的環」。而這個概念實際上就是——「包含這個環的最小的體」。

交換環與代數幾何的關係
交換環是乘法滿足交換律的環。這種環和代數幾何有著深遠的關聯性，體現在交換環範疇 \mathbf{CRing} 和仿射概形範疇 \mathbf{AffSch} 有著如下對偶性：

\mathbf{CRing}^{\mathrm{op}} \cong \mathbf{AffSch}

這種對偶性使得交換環的代數性質可以轉換成仿射概形的幾何性質。

參見

  • 模
  • 理想
  • 代數
  • 偽環

備註
引用
參考文獻
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要求「環」要有乘法單位元的教科書
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不要求「環」要有乘法單位元的教科書
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外部連結

#環論 #代數結構

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