複底数进制是指底數為虛數或複數的进位制系統。
其中，底數為虛數的进位制系統最早由高德纳於1955年提出；底數為複數的进位制系統於1964年由所羅門·I·赫梅利尼克（Solomon I. Khmelnik）和1965年由沃爾特·F·彭尼（Walter F. Penney）提出。
概述
令D為整环\subset \C和|\cdot|為（阿基米德）绝对赋值。
數X\in D在进位制系統中可以表示為：
: X = \pm \sum_{\nu}^{ } x_\nu \rho^\nu,
其中
:
其势R:=|Z|稱為分解程度（level of decomposition）
进位制系統或編碼系統是一對二元組：
: \left\langle \rho, Z \right\rangle
包括了其底數\rho和位數數碼集合Z。通常會將有R個位數數碼的位數數碼集合表示為：
: Z_R := \{0, 1, 2,\dotsc, {R-1}\}.
理想的进位制系統或編碼系統具有以下特性：
*任何在环D內的數如整數\Z、高斯整數\Z[\mathrm i]或环\Z\left[\tfrac{-1+\mathrm i\sqrt7}2\right]的整數可以表達為為唯一的編碼，並可能帶有正負號±。
*任何在分式環K:=\operatorname{Quot}(D)內的數，或者再取完備化（|\cdot|度量的意義下）所得的K:=\R或K:=\C內的數，皆可以表示為在|\cdot|下，於\nu \to -\infty收斂的無窮級數X，且不只一種表示方式之數的集合测度為0。後者要求集合Z最小，即對於實數R=|\rho|、對於複數R=|\rho|^2。
實數
在這種表示法中，一般常見的標準十进制表示為：
:\left\langle 10, Z_{10} \right\rangle,
標準二进制系統表示為：
:\left\langle 2, Z_2 \right\rangle,
負二进制系統表示為：
:\left\langle -2, Z_2 \right\rangle,
平衡三進位系統表示為。 比如\beta=1且R=2是指
:\left\langle\tfrac{-1+\mathrm i\sqrt7}2,Z_2\right\rangle进位制系統。（ \tfrac{-1+\mathrm i\sqrt7}2进制）
- \left\langle 2e^{\tfrac{\pi}3 \mathrm i},A_4:=\left\{0,1,e^{\tfrac{2 \pi}3 \mathrm i},e^{-\tfrac{2 \pi}3 \mathrm i}\right\}\right\rangle。
- \left\langle-R,A_R^2\right\rangle，其中，集合A_R^2由複數r_\nu=\alpha_\nu^1+\alpha_\nu^2\mathrm i組成，且數\alpha_\nu^{ } \in Z_R，例如
:\left\langle -2, \{0,1,\mathrm i,1+\mathrm i\}\right\rangle
二元系統
複數的二元系統是僅使用兩個數碼——0和1的进位制系統，即位數數碼集合為Z_2=\{0,1\}的进位制系統，這類記數系統具有較實際的用途
|-
! style="text-align: right;" | 底數
! style="text-align: left;" | –1 ←
! style="text-align: left;" | 2 ←
! style="text-align: left;" | –2 ←
! style="text-align: left;" | ←
! style="text-align: center;" colspan="2" | 多種表示形式的數
|-
| 2 || || || || || style="border-right: white" | 1 ← || 0.1 = 1.0
|-
| –2 || || || || || ← || 0.01 = 1.10
|-
|\mathrm i\sqrt{2} || || || || ... || \frac{1}{3}+\frac{1}{3}\mathrm i \sqrt{2} ← || 0.0011 = 11.1100
|-
| \frac{-1 + \mathrm{i}\sqrt{7}}{2} || 111 || 1010 || 110 || 11.110001100...
:z_{\,}=q_1b+a_0
:q_1=q_2b+a_1
:q_2=q_3b+a_2
:\quad\quad\vdots
:q_t=0_{\,}b+a_t
其中，q_1、q_2、q_3……q_t為高斯整數，a_1、a_2、a_3……a_t為位於位數數碼集合內的數，
則z=\left(a_t\cdots a_2a_1a_0\right)_b。
以5+12i轉換成-2+i进制（\left\langle -2+\mathrm i, \{0,1,2,3,4\}\right\rangle）為例：。
此外，還有兩個映射
:\begin{array}{lll}
Z_2^\N & \to & S \\
\left(x_k\right)_{k\in\N} & \mapsto & \sum_{k\geq 1}x_k (\mathrm i-1)^{-k}
\end{array}
和
:\begin{array}{lll}
Z_2^\N & \to & [0,1) \\
\left(x_k\right)_{k\in\N} & \mapsto & \sum_{k\geq 1}x_k 2^{-k}
\end{array}
兩者皆满射，也就是產生了一個滿射（空間填充）的映射
:[0,1) \qquad \to \qquad S
然而，其並不連續，因此不是空間填充曲線。但是一個類似的曲線——戴維斯-高德納龍（Davis-Knuth dragon），是連續的空間填充曲線。
註釋
參考文獻
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