不可約元素

不可約元素是抽象代數中的名詞，是指在整环中一個非零、非单位的元素，而且也無法表示為二個非單位元素的乘積。

不可約元素和質元素的關係
不可約元素和質元素不同，交换环R內的非零、非单位元素a為質元素，表示若在交換環R內存在b及c，使得a | bc，則a|b或a|c必定有一個成立。

在整环中，每一個質元素都是不可約元素，但一般而言，不可約元素不會是質元素。只有在唯一分解整環（或範圍更廣的GCD環）中的不可約元素才一定是質元素。

再者，一個用質元素產生的理想為素理想，但由不可約元素產生的理想一般不會是。不過，若D為GCD環，且x為D環中的不可約元素，則產生的理想會是素理想。

舉例
在\mathbf{Z}[\sqrt{-5}]中，可以用範數證明 3 是不可約元素。不過，3 不是質元素，因為
:3 \mid \left(2 + \sqrt{-5}\right)\left(2 - \sqrt{-5}\right)=9,

但 3 無法整除 2 + \sqrt{-5}，也無法整除 2 - \sqrt{-5}。

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• 不可約多項式

參考資料
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