群環

在抽象代數中，群環是從一個群 G 及交換環 R 構造出的環，通常記為 R[G] 或 RG。其定義為：

: R[G] := \bigoplus_{g \in G} R e_g \qquad （換言之，這是由基底 \{ e_g : g \in G\} 張出的自由 R-模）

其上的 R-線性乘法運算由 e_g \cdot e_h = e_{gh} 給出。R[G] 對 R-模的加法與上述乘法形成一個 R-代數。乘法單位元素為 1 := e_e。

最常用的是 R = \Z 或 R = \mathbb{C} 的群環。對於後者，\mathbb{C}[G] 成為 G 的表示：s \sum a_g e_g = \sum a_g e_{sg}；若 G 為有限群，則稱此表示為正則表示。正則表示與有限群的表示理論有密切的聯繫。

對於無窮階的群 G，迄今對群環的結構仍所知甚少。對於局部緊拓撲群，通常採用 C_c(G) 或 L^1(G) 對摺積構成的代數，較有利於研究群的拓撲性質及其表示。

定義
例子
令 G = C_3 ，即階為 3 的循環群，其中 a 為群的一個生成元， 1_G 為其單位元。群環 \mathbb{C}[G] 中的元素 r 可以表示成
: z_0 1_G + z_1 a + z_2 a^2
其中 z_0 ，z_1 以及 z_2 皆為 \mathbb{C} 中的元素，即複數。

對群環中其他的元素 s = w_0 1_G + w_1 a + w_2 a^2 ，我們可以定義群環的加法
: r + s = (z_0 + w_0) 1_G + (z_1 + w_1) a + (z_2 + w_2) a^2
以及乘法
: rs = (z_0w_0 + z_1w_2 + z_2w_1) 1_G + (z_0w_1 + z_1w_0 + z_2w_2) a + (z_0w_2 + z_1w_1 + z_2w_0) a^2

基本性質
文獻
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• C.W. Curtis, I. Reiner, Representation theory of finite groups and associative algebras, Interscience (1962)
• D.S. Passman, The algebraic structure of group rings, Wiley (1977)