黑格纳数（Heegner number）指滿足以下性質，非平方數的正整數：其虚二次域Q(√−d)的類数为1，亦即其整數環為唯一分解整環。
黑格纳数-{只}-有以下九個：
1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163。
高斯曾猜測符合上述特性的數只有九個，但未提出證明，1952年提出不完整的證明，後來由哈羅德·斯塔克提出完整的證明，即為。
歐拉的質數多項式
歐拉的質數多項式如下：
:n^2 + n + 41, \,
在n = 1, ..., 40時會產生不同的40個質數，這相关于黑格纳数163 = 4 · 41 − 1.
歐拉公式，n取值為1,... 40和以下的多項式
:n^2 + n + 41, \,
讓n取值0,... 39時等效，而Rabinowitz證明了
:n^2 + n + p \,
在n=0,\dots,p-2時，多項式為質數的充份必要條件為其判別式1-4p等於負的黑格纳数。
（若代入p-1會得到p^2一定不是質數，因此最大值只能取到p-2）
1, 2和3不符合要求，因此符合條件的黑格纳数為7, 11, 19, 43, 67, 163，也就表示可以讓歐拉公式產生質數的p為2,3,5,11,17,41，這些數字被稱為。
拉马努金常数
拉马努金常数是e^{\pi \sqrt{163}}的值，是超越數，但非常接近整数：
:e^{\pi \sqrt{163}} = 262,537,412,640,768,743.999\ 999\ 999\ 999\ 25\ldots
這個數字是在1859年由數學家夏爾·埃爾米特發現，在1975年愚人節的《科学美国人》，《數學遊戲》的專欄作家马丁·加德纳故意聲稱這個數字其實是整數，而印度數學天才斯里尼瓦瑟·拉马努金也預測了這個數很接近整數，因此以他的名字來命名。
這個巧合可以用的及q展開來表示。
註解
參考資料
外部連結
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- [http://www.ams.org/bull/1985-13-01/S0273-0979-1985-15352-2/S0273-0979-1985-15352-2.pdf Gauss' Class Number Problem for Imaginary Quadratic Fields, by Dorian Goldfeld] : Detailed history of problem.
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