整数

整数（）在電腦應用上也稱為整型，是集合\{\ldots, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, \ldots\}中所有的数的统称，包括负整数、零（0）与正整数。和自然數集合一樣，整數集合也是一個可數的無限集合。整数集合通常寫作粗體的\mathbf{Z}或\mathbb{Z}（源于德语单词Zahlen，意为“数”）。

在代數數論中，這些屬於有理數的一般整數會被稱為有理整數，用以和高斯整數等的概念加以區分。

正整数与负整数
整數是一个集合，通常可以分为正整數、零（0）和負整數。正整數（符号：Z+或\mathbb{Z}^{+}）即大於0的整數，是正数与整数的交集。而負整數（符号：Z-或\mathbb{Z}^{-}）即小於0的整數，是负数与整数的交集。和整數一样，两者都是可數的無限集合。除正整數和負整數外，通常将0與正整數统称为非負整數（符号：Z+0或\mathbb{Z}^{+}_{0}），而将0與負整數统称为非正整數（符号：Z-0或\mathbb{Z}^{-}_{0}）。在数论中自然数\mathbb{N}通常被视为与正整數等同，即1，2，3等，但在集合论和计算机科学中自然数则通常是指非负整数，即0，1，2等。

代数性质
下表给出任何整数a, b, c的加法和乘法的基本性质。

全体整数关于加法和乘法形成一个环。环论中的整环、无零因子环和唯一分解域可以看作是整数的抽象化模型。

\mathbb{Z}是一个加法循环群，因为任何整数都是若干个1或-1的和。1和-1是\mathbb{Z}仅有的两个生成元。每个元素个数为无穷个的循环群都与(\mathbb{Z},+)同构。

有序性质
\mathbb{Z}是一个全序集，没有上界和下界，其序列如下：
:\ldots

一个整数大于零则为正，小于零则为负。零既非正也非负。

整数的序列在代数运算下是可以比较的，表示如下：

*若a 且c ，则a + c （加法）
*若a 且c > 0，则a \times c ；若c ，则a \times c > b \times c（乘法）

整数环是一个欧几里德域。

電腦
整數集合的基數
\mathbb{Z}的基數（或勢）是ℵ0，與\mathbb{N}相同。這可以從\mathbb{Z}建立一雙射函數到\mathbb{N}來證明，亦即該函數要同時滿足單射及滿射的條件，例如：

:f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & \mbox{if } x \ge 0 \\ 2|x|, & \mbox{if } x

當該函數的定義域僅限於\mathbb{Z}，則證明\mathbb{Z}與\mathbb{N}可建立一一對應的關係，即兩集等勢。

参见

• 整數數列線上大全
• 超整數