八次方程

根（穿过X轴）和7个临界点。一般来说，取决于局部极值的数量和垂直位置，实数根的数量可以是8,6,4,2或0。复数根的数量等于8减去实数根的数量。]]
八次方程是可以用下式表示的方程
:ax^8+bx^7+cx^6+dx^5+ex^4+fx^3+gx^2+hx+k=0,\,
其中。

而八次函数是可以用下式表示的函数：

f(x)=ax^8+bx^7+cx^6+dx^5+ex^4+fx^3+gx^2+hx+k,

换句话说，八次函数也就是次数为8次的多项式，若a = 0，则多项式最多只为是七次函数。

若令八次函数，即可得到八次方程。

八次方程的系数可以是整数、有理数、复数或是任何一种域的元素。

由于一个八次函数是由偶数多项式定义，当变元往正值或负值无穷时，它拥有一样的無窮的極限。如果首项系数a是正值，那么函数在两边增加到正无穷大；因此该函数具有全域極小值。同样地，如果a是负值，八次函数减少到负无穷大和具有全域極大值。八次函数的导数是七次函数。

八次方程求根
透过阿贝尔-鲁菲尼定理，就其参数而言没有一般的代數式能解八次方程。然而，一些八次方的子类(sub-classes)有这样的公式。

普通的，具有正值k的形式的八次方程

x^8=k

具有解

x_i=k^{1/8}\omega_i\, , \quad i=1, \dots , 8,

其中\omega_i是在复平面中第i个1的8次方根。

可以通过因式分解或在变量中

ax^8+ex^4+k=0

应用二次方程来求解形式的八次方程。

x^4=y

得出ay^2+ey+k=0

y_{1,2}={{-e\pm\sqrt{e^2-4ak}} \over {2a}}\,\!

x_{1,2,3,4}=\sqrt[4]{y_1}

x_{5,6,7,8}=\sqrt[4]{y_2}

可以使用变量中的四次方程

ax^8 +cx^6+ex^4+gx^2+k=0

令x^2=y得出四次方程

ay^4+cy^3+ey^2+gy+k=0

得出y_1,y_2,y_3,y_4

x_{1,2}=\pm\sqrt{y_1}

x_{3,4}=\pm\sqrt{y_2}

x_{5,6}=\pm\sqrt{y_3}

x_{7,8}=\pm\sqrt{y_4}

应用
在某些情况下（如通过垂直线划分成四个相等面积的区域），一个三角形的垂直线的四分之一部分是一个八次方程的解。

参见

參考資料