特徵多項式

在線性代數中，對一個線性自同態（取定基即等價於方陣）可定義其特徵多項式，此多項式包含該自同態的一些重要性質，例如行列式、跡數及特徵值。

定義
設 \mathbb{F} 為域（例如實數或複數域），對佈於 \mathbb{F} 上的 n \times n 矩陣 A，定義其特徵多項式為
: p_A(t) := \det (t I_n - A) \in \mathbb{F}[t]

這是一個 n 次多項式，其首項係數為一。

一般而言，對佈於任何交換環上的方陣都能定義特徵多項式。

性質
當 A 為上三角矩陣（或下三角矩陣）時，p_A(t) = \prod_{i=1}^n (t-\lambda_i)，其中 \lambda_1, \ldots, \lambda_n 是主對角線上的元素。

對於二階方陣，特徵多項式能表為 p_A(t) = t^2 - \mathrm{tr}(A)t + \det (A) 。一般而言，若 p_A(t) = t^n + a_{n-1} t^{n-1} + \ldots + a_0，則 a_0 = (-1)^n \det(A)，a_{n-1} = -\mathrm{tr}(A)。

此外：

• 特徵多項式在基變更下不變：若存在可逆方陣 C 使得 B = C^{-1}AC，則 p_A(t) = p_B(t)。
• 對任意兩方陣 A, B，有 p_{AB}(t) = p_{BA}(t)。一般而言，若 A 為 m \times n 矩陣，B 為 n \times m 矩陣（設 m ），則 p_{AB}(t) = t^{m-n} p_{BA}(t)
• 凱萊-哈密頓定理：p_A(A)=0。