在數學上，韦达定理（），又称根與係數的关系，給出了多項式方程的根與係數的关系。該定理由法國數學家弗朗索瓦·韋達發現，並因此得名。
韋達定理常用於代數領域。它的實用之處在於，能够不用把根直接解出來就能计算根之間的關係。
内容
设 P(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} +\cdots + a_1 x+ a_0 是一个一元 n 次實（或複）係數多項式，首項系數 a_n\neq 0，令 P 的 n 個根為 x_1, x_2, \dots, x_n，则根 \{x_i\}和係數 \{a_j\}之間滿足關係式
:\begin{cases} x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1} + x_n = -\dfrac{a_{n-1}}{a_{n}} \\
(x_1 x_2 + x_1 x_3+\cdots + x_1 x_n) + (x_2x_3 + x_2x_4+\cdots + x_2x_n)+\cdots + x_{n-1}x_n = \dfrac{a_{n-2}}{a_{n}} \\
{} \quad \vdots \\ x_1 x_2 \dots x_n = (-1)^n \dfrac{a_0}{a_n}\end{cases}
等價的說，對任何 k = 1, 2, ..., n，係數比 \frac{a_{n-k}}{a_n} 是所有任取 k 個根的乘積的和的 (-1)^k 倍，即
: \sum_{1\le i_1
: 或：
: \sum_{1\le i_1
其中 i_1 是要讓所有的根的組合都恰好出現一次。
事實上，等號的左邊被稱作是初等對稱多項式。
证明
因為 x_1, x_2, \dots, x_n 是一元 n 次多項式 M(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} +\cdots + a_1 x+ a_0 的 n 个根。於是有
:a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} +\cdots + a_1 x+ a_0 = a_n(x-x_1)(x-x_2)\cdots (x-x_n)
根據乘法原理展開右式，比較等號兩邊的各項係數可得
:\begin{cases} a_{n-1} = -a_n(x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1} + x_n) \\
a_{n-2} = a_n\left((x_1 x_2 + x_1 x_3+\cdots + x_1 x_n) + (x_2x_3 + x_2x_4+\cdots + x_2x_n)+\cdots + x_{n-1}x_n \right)\\
{} \quad \vdots \\ a_0=(-1)^n a_n x_1 x_2 \dots x_n\end{cases}
上式等同於韋達定理的敘述。
特例
n=2
设 x_1, x_2 是一元二次多項式 ax^2+bx+c 的两根，則由ax^2+bx+c
=a(x-x_1)(x-x_2)
=ax^2-a(x_1+x_2)x+ax_1x_2有
:x_1+x_2=-\frac{b}{a},\quad x_1x_2=\frac{c}{a}
這個特殊情況除之前提到的证明方法，也可以直接用求根公式即 x_1=\frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a}，x_2=\frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a} \,證明：
:x_1+x_2=\frac{-b + \sqrt {b^2-4ac} + \left (-b \right) - \sqrt {b^2-4ac}}{2a} =-\frac{b}{a}
:x_1x_2=\frac{ \left (-b + \sqrt {b^2-4ac} \right) \left (-b - \sqrt {b^2-4ac} \right)}{\left (2a \right)^2} =\frac{c}{a}
在這個情況下，韦达定理的逆定理同样成立：給定一個一元二次多項式 ax^2+bx+c，如果有两个数 x_1, x_2，滿足 x_1+x_2=-\frac{b}{a} 和 \, x_1x_2=\frac{c}{a}，則 x_1, x_2就是多項式\, ax^2+bx+c \,的兩根。
n=3
设 x_1, x_2, x_3 是一元三次多項式 ax^3 + bx^2 + cx + d 的三根，則
: x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = \frac{c}{a}, \quad x_1 x_2 x_3 = -\frac{d}{a}
推廣至環
韋達定理經常使用在討論整環 R 上多項式，換言之多項式係數都落在 R 上。此時，分數 \frac{a_i}{a_n} 在 R 中不見得有定義，除非 a_n 本身是可逆元。但 \frac{a_i}{a_n} 在 R 的分式環 K 中有定義，而根 x_1, x_2, \dots, x_n 則在 K 的代數閉包 \bar K 中有定義。特別的，如果 R 是整數環 \mathbb Z，則 K 是有理數體 \mathbb Q，\bar K是複數體 \mathbb C。
如果多項式 P(x) 定義在一般非整環的交換環上，則韋達定理可能在兩個地方出錯。第一，a_n 可能不是零因子，因此不能出現在分母。第二 P(x) 可能不等於 a_n(x-x_1)(x-x_2)\cdots (x-x_n)。第一點算是顯而易見，以下給出一個第二點的例子。在環 \mathbb Z/8\mathbb Z 中，多項式 P(x) = x^2 - 1 有四個根 1、3、5、7，根數比多項式的次數還多。此外，如果隨便取兩根出來，例如 x_1=1 ，x_2=3 ，會發現 P(x)\neq (x-1)(x-3) ，但是有時候如果根取的剛好，卻又可能會有 P(x)= (x-1)(x-7) 和 P(x)= (x-3)(x-5) 。
歷史
在 16 世紀，韋達發現了所有根都是正整數的版本，至於一般的版本 (根是實數)，可能首次由法國數學家 提出。Funkhouser 引用了18 世紀英國數學家的話寫道...[Girard 是] 理解關於各次方項係數的和與積公式的一般性學說的第一人。他是找到關於將任意方程式的根的次方加總的規則的第一人。
參考資料
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参见
- 法兰西斯·韦达
- 对称多项式
- 韋達跳躍
- 天元术
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