阿佩爾序列
在數學中，阿佩爾序列是得名于十九世紀法國數學家保羅·埃米尔·阿佩爾（Paul Émile Appell）的一類多項式序列 {pn(x)}n = 0, 1, 2, ...。阿佩爾序列滿足以下關係： :{d \over dx} p_n(x) = np_{n-1}(x), 其中的 p0(x) 是非零常數。 除了一些平凡的例子如 { xn } 以外，最值得注意的阿佩爾序列是埃爾米特多項式、伯努利多項式以及歐拉多項式。所有的阿佩爾序列都是謝弗序列…
标签：#多項式
共 43 篇文章
五次方程
五次方程是一種最高次數為五次的多項式方程。本條目專指只含一個未知數的五次方程（一元五次方程），即方程形如 :ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0 其中，a、b、c、d、e 和f 为复数域内的数，且 a 不为零。例如： :x^5-4x^4+2x^3-3x+7=0 二次方程很早就找到了公式解。經過數學家們的不斷努力，三次方程及四次方程在16世紀中有了解答，但是之后很长的一段时间里沒有人知道五次方程是否存在公式解。直到1824…
四次方程
四次方程，是未知数最高次数不超过四次的多项式方程。一个典型的一元四次方程的通式为： :ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0\, 其中 a\ne0\, 本篇只讨论一元四次方程，并简称为四次方程。 四次方程的解法 数学家们为了解开四次方程——确切地说，找到解开四次方程的方法——做出了许多努力。像其它多项式一样，有时可以对四次方程进行因式分解；但高次幂下的因式分解往往非常困难，尤其是当根是无理数或复数时。因此找到一个公式解（就像二次方程…
布靈根式
布靈根式（）或是超根式（）是代數术語。布靈根式不是一般意義下的根式（n次方根，或“单位根”），複數a的布靈根式可以用\mathrm{BR}(a)表示，是指以下五次方程的解 :x^5+x+a = 0\, 對應一複數a的布靈根式，是上述方程式五個解中的一個（因此是多值函數）一般會選擇布靈根式的根，使得實數的布靈根式為正值，而且在實數線附近可解析。布靈根式在复平面上有四個，因此無法定義為複數平面上的連續函數，其連續域需要排除其。 布靈根式是由…
牛顿多项式
牛頓多項式（）是數值分析中一種用於插值的多項式，以英格兰數學家暨物理學家牛頓命名。 定義 給定包含k + 1個數據點的集合(x_0, y_0),\ldots,(x_k, y_k)。 如果對於\forall i, j \in \left\{0, ..., k\right\}, i \ne j，滿足x_i \ne x_j，那麼應用牛頓插值公式所得到的牛頓插值多項式為 : N(x) := \sum_{j=0}^{k} a_{j} n_{j}(…
凸组合
在领域，凸组合（）指点的线性组合，要求所有系数都非负且和为 1。此处的「点」可以是仿射空间中的任何点，包括向量和标量。 如果给出有限个实向量空间中的点 x_1, x_2, \dots, x_n 这些点的凸组合即一个这样的点： :a_1 x_1 + a_2 x_2 + \dots + a_n x_n 其中的任意实数 a_i 都满足 a_i \ge 0，且 a_1 + \dots + a_n = 1。 任意两个点的凸组合都在它们之间的线段上…
多對數函數
n的多對數函數（polylogarithmic function）也稱為幂对数，是指n的對數的多項式 :a_k \log^k(n) + \cdots + a_1 \log(n) + a_0 其中的是表示。 在計算機科學中，多對數函數在一些演算法時間和空間複雜度的數量級中用到（多對數級，PolyL）。 此外，多對數函數的指數成長是，類似多項式成長，若時間複雜度以準多項式成長的演算法，稱為，類似多項式時間。 所有多對數函數都符合以下的形式 …
亞歷山大多項式
在纽结理论中，亚历山大多项式（Alexander polynomial）是一种紐結多項式。 亚历山大–康威多项式 \nabla(O) = 1 (unknot) \nabla(L_+) - \nabla(L_-) = z \nabla(L_0) \Delta_L(t^2) = \nabla_L(t - t^{-1}) \Delta(L_+) - \Delta(L_-) = (t^{1/2} - t^{-1/2}) \Delta(L_0) …
線性函數
在數學裏，線性函數（又称一次函数）在不同的領域中有多於一个用途和含意。 初等數學用法 在初等代數與解析幾何，線性函數是只擁有一個变数的一階多項式函数或者是只有常数的函数，因為在直角坐標系中這些函数的图形是直線。所以，這些函數是線性的。線性函數可以表達為斜截式： : f(x) = kx + b\,\! （k为常数且k≠0）； 其中， k\,\! 是斜率， b\,\! 是y-截距，即函數的圖形與相交的。改變斜率 k\,\! 會使直線更陡峭或…
穩定多項式
在探討微分方程或是差分方程的時，多項式若滿足任一個性質，即稱為穩定： 所有的根都在左半平面开集內。 所有的根都在单位圆盘开集內。 第一個條件是連續時間線性系統的穩定條件，第二個條件則是離散時間線性系統的穩定性條件。若符合第一個條件的多項式稱為赫爾維茨多項式，第一個條件的多項式則是。穩定多項式常出現在控制理论中，也應用在微分方程及差分方程的數學理論中。線性时不变系统（參照线性时不变系统理论）為BIBO穩定的條件是所有有界輸入的輸出都是有界…
八次方程
根（穿过X轴）和7个临界点。一般来说，取决于局部极值的数量和垂直位置，实数根的数量可以是8,6,4,2或0。复数根的数量等于8减去实数根的数量 。]] 八次方程是可以用下式表示的方程 :ax^8+bx^7+cx^6+dx^5+ex^4+fx^3+gx^2+hx+k=0,\, 其中。 而八次函数是可以用下式表示的函数： f(x)=ax^8+bx^7+cx^6+dx^5+ex^4+fx^3+gx^2+hx+k, 换句话说，八次函数也就是次数…
極小多項式 (線性代數)
线性代数中，一个矩阵在域上的最小多项式，是一個有最小的次數且首一的多項式，使得 。同時只要，那麼是的倍数。 以下三个敘述等價： 是 的根 是的特徵多項式的根 是的特徵值 因為是次多項式，所以在上的重根數是不超過 。這導致\supsetneqq 。换句话说，将指数小於時，增加指數会得到更大的内核；但指數大於時，增加指数只会得到相同的内核。
乘法分配律
根据乘法分配律（於代數有時稱之為擴展），当两个数的和与另一个数相乘时，可将被相加的两个数分别与第三数相乘，再将所得的积相加。公式是：(a+b)c=ac+bc。像1+\sqrt2或1+a这样的已知数与未知数只能通过两数之和的形式来简便地表达，而它们与另一个数的乘积便需要通过乘法分配律来展开。 驗證 基本驗證 和平方可直接利用因式分解驗證。公式如下： :(a+b)(c+d) =a(c+d)+b(c+d) =ac+ad+bc+bd 簡單驗證 …
希尔伯特零点定理
希尔伯特零点定理（Hilbert's Nullstellensatz）确立了几何和代数之间的基本关系。数学中一大重要分支——代数几何——正是建立在这一关联的基础之上的。零点定理联系了代数集与（代数闭域上的）多项式环中的理想。大卫·希尔伯特最早发现了这一关联，并证明了零点定理及其它相关的重要定理（如希尔伯特基定理）。 定理陈述 设k 为域（如有理数域），K 为k 的代数封闭扩张（如复数域）。考虑多项式环k[X1,X2,..., Xn]，设…
六次方程
六次方程是可以用下式表示的方程 :ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+ex^2+fx+g=0 其中。 而六次函数是可以用下式表示的函数： :f(x)=ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+ex^2+fx+g 其中。 六次函数也就是阶数为6次的多项式，若a = 0，则多项式最多只为是五次函数。 若将令六次函数y(x) = 0，即可得到六次方程。 六次方程的系数可以是整数、有理数、复数或是任何一种体的元素。 因为六次函数的阶数为偶数，…
括號多項式
在紐結理論中，括號多項式（Bracket polynomial）是框多項式和3-流形的不变多项式，也是琼斯多项式的推广。1987年，路易‧考夫曼提出了这个多项式。 定义 纽结图L的括號多項式是 \langle L \rangle ： \langle O \rangle = 1 ， O 是平凡纽结 \langle O \cup L \rangle = (-A^2 - A^{-2}) \langle L \rangle 阅读 Louis H…
赫爾維茨多項式
赫爾維茨多項式（Hurwitz polynomial）得名自德國數學家阿道夫·赫維茲，是一種特殊的多項式，其係數為正值，而且其根解都在複數平面的左半邊或是在虛軸上，也就是根的實部均為負數或是零。有時此一用語會將多項式根的實部限制為只允許負值，也就是解不能在虛軸上（赫爾維茨穩定多項式）。 若以下二個條件皆成立，複變數s 的多項式P(s)為赫尔维茨多項式： :1. 若s為實數，則P(s)為實數。 :2. P(s)根的實部均為零或負值。 赫爾…
阿貝爾多項式
數學上的阿貝爾多項式(Abel polynomial)是一個多項式序列，其第n項的形式為 : p_n(x)=x(x-an)^{n-1}. 該序列以挪威數學家阿貝爾（1802-1829）的名字來命名。 這個多項式為二項型。 例子 當a = 1時，此多項式為 : p_0(x)=1; : p_1(x)=x; : p_2(x)=-2x+x^2; : p_3(x)=9x-6x^2+x^3; : p_4(x)=-64x +48x^2-12x^3+x…
結式
結式是數學中一個常用的不變量。考慮域 F 上兩個多項式 P, Q，設其首項係數分別為 a, b，則其結式定義為 :\mathrm{res}(P,Q) := a^{\deg Q} b^{\deg P} \prod_{(x,y) \in \bar{F}^2: \,P(x)=0,\, Q(y)=0} (x-y),\, 其中 \bar{F} 為 F 的給定代數閉包。由此定義的結式是 F 的元素，而与代數閉包的選取无关。 計算方式 結式亦可理解為…
图沙德多项式
图沙德多项式是1939年法兰西数学家提出的多项式。定义如下： :T_n(x)=\sum_{k=0}^n S(n,k)x^k=\sum_{k=0}^n \left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right\}x^k, 其中S(n,k)是第二类斯特林数。 前面几个图沙德多项式是： T_0(x) = 1 T_1(x) = x T_2(x) = x+x^2 T_3(x) = x+3x^2+x^3 T_4…