布靈根式（）或是超根式（）是代數术語。布靈根式不是一般意義下的根式（n次方根，或“单位根”），複數a的布靈根式可以用\mathrm{BR}(a)表示，是指以下五次方程的解
:x^5+x+a = 0\,
對應一複數a的布靈根式，是上述方程式五個解中的一個（因此是多值函數）一般會選擇布靈根式的根，使得實數的布靈根式為正值，而且在實數線附近可解析。布靈根式在复平面上有四個，因此無法定義為複數平面上的連續函數，其連續域需要排除其。
布靈根式是由發明的，證明有些五次方程可以用n次方根及布靈根式求解，因此可以用在一些五次方程的闭合形式解中。
此條目中。a的布靈根式表示為\operatorname{BR}(a).。若a是實數，此函數是奇函數、單調遞減且無界，在a很大時，其漸近行為\operatorname{BR}(a) \sim -a^{1/5}。
級數表示
布靈根式的泰勒级数，以及以广义超几何函数的表示式可以用以下方式推導。方程x^5+x+a=0可以寫成x^5+x=-a.，若令f(x)=x^5+x，想要的解是x = f^{-1}(-a) = -f^{-1}(a)，因為f(x)是奇函數。
f^{-1}的級數可以用f(x)泰勒级数（就是x+x^5）的來得，令
\operatorname{BR}(a) = -f^{-1}(a) = \sum_{k=0}^\infty \binom{5k}{k} \frac{(-1)^{k+1} a^{4k+1}}{4k+1} = -a + a^5 - 5 a^9 + 35 a^{13} - 285 a^{17} + \cdots,
其中係數的絕對值形成整數數列線上大全中的A002294。數列的收敛半径為 4/(5 \cdot \sqrt[4]{5}) \approx 0.53499.。
布靈根式的超几何函数形式可以寫成：
\operatorname{BR}(a) = -a \,\,_4F_3\left(\frac{1}{5},\frac{2}{5},\frac{3}{5},\frac{4}{5};\frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{5}{4};-5\left(\frac{5a}{4}\right)^4\right).
相關條目
*方程理论
參考資料
外部連結
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