結式是數學中一個常用的不變量。考慮域 F 上兩個多項式 P, Q，設其首項係數分別為 a, b，則其結式定義為
:\mathrm{res}(P,Q) := a^{\deg Q} b^{\deg P} \prod_{(x,y) \in \bar{F}^2: \,P(x)=0,\, Q(y)=0} (x-y),\,
其中 \bar{F} 為 F 的給定代數閉包。由此定義的結式是 F 的元素，而与代數閉包的選取无关。
計算方式
- 結式亦可理解為西爾維斯特矩陣的行列式。
- 為簡單起見，假設 P,Q 首項係數為一；若 Q 是可分多項式（換言之：無重根），則定義可改寫為
:\mathrm{res}(P,Q) = \prod_{P(x)=0} Q(x)\,
: 此式僅依賴於 Q 除以 P 的餘式。
- 承上，可透過輾轉相除法求得結式。
性質
- \mathrm{res}(P,Q) = (-1)^{\deg P \cdot \deg Q} \cdot \mathrm{res}(Q,P)
- \mathrm{res}(P\cdot R,Q) = \mathrm{res}(P,Q) \cdot \mathrm{res}(R,Q)
- 若 P_1 = P + R*Q且\deg P_1 = \deg P，那么\mathrm{res}(P,Q) = \mathrm{res}(P_1, Q)。在論及計算方式時已利用此性質。
- 若 X, Y, P, Q 同次，X = a_{00}\cdot P + a_{01}\cdot Q, Y = a_{10}\cdot P + a_{11}\cdot Q，則有
: \mathrm{res}(X,Y) = \det{\begin{pmatrix} a_{00} & a_{01} \\ a_{10} & a_{11} \end{pmatrix}}^{\deg P} \cdot \mathrm{res}(P,Q)
- \mathrm{res}(P_-,Q) = \mathrm{res}(Q_-,P)，其中 P_-(z) := P(-z)。
應用
- 一多項式 P 與其導數 P'的結式可由判別式 D(P) 表示：設 P 的首項係數為 a，則
: D(P) = (-1)^{\frac{\deg P (\deg P - 1)}{2}} a^{-1} \mathrm{res}(P,P')。
- 在代數幾何中，可用結式計算兩條平面代數曲線之交。
- 在域論中，結式可用來計算範數。
外部連結
- [http://mathworld.wolfram.com/Resultant.html Weisstein, Eric W. "Resultant." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.]
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